개념 해석 · Concepts

NOTE 선적분이란 What a Line Integral IsSection opening · p.1169
한국어

이 절에서는 정적분 $\int_a^b f(x)\,dx$와 비슷하게 움직이는 적분을 하나 구성한다. 다만 적분 영역이 구간 $[a,b]$가 아니라 곡선 $C$라는 점이 다르다. 이런 적분은 관행적으로 선적분(line integral)이라 부르지만, 사실은 "곡선적분"(curve integral)이라는 이름이 더 정직할 것이다.

선적분은 19세기 초, 유체의 흐름과 힘, 전기·자기 현상을 다루는 과정에서 고안되었다. 이 장 뒤에서 전개할 물리적 해석들도 모두 그 뿌리를 여기에 두고 있다.

English

This section builds an integral that behaves much like the single integral $\int_a^b f(x)\,dx$, except that the domain of integration is a curve $C$ rather than an interval $[a,b]$. Integrals of this kind carry the traditional name line integral, though curve integral would describe them more honestly.

They were devised in the early nineteenth century, in work on moving fluids, on forces, and on electricity and magnetism; the physical readings developed later in this chapter all trace back to those origins.

NOTE 매개곡선의 분할과 리만합 Partitioning a Smooth CurveEquations (1) · p.1169–1170
한국어

평면곡선 $C$가 매개변수 표현

$$x=x(t),\quad y=y(t),\quad a\le t\le b,$$

또는 이와 동치인 벡터방정식 $\mathbf r(t)=x(t)\,\mathbf i+y(t)\,\mathbf j$로 주어져 있고, $C$는 매끄럽다고 하자. 즉 $\mathbf r'$이 연속이고 $\mathbf r'(t)\neq\mathbf 0$이다(§13.3 참조).

$[a,b]$를 폭이 같은 $n$개의 소구간 $[t_{i-1},t_i]$로 나누고 $x_i=x(t_i)$, $y_i=y(t_i)$로 두자. 이렇게 얻은 점 $P_i(x_i,y_i)$들은 $C$를 길이가 각각 $\Delta s_1,\Delta s_2,\dots,\Delta s_n$인 $n$개의 소호로 나눈다. $i$번째 소호 위에서 임의의 점 $P_i^*(x_i^*,y_i^*)$를 하나 고르면, 이는 $[t_{i-1},t_i]$ 안의 어떤 매개변수값 $t_i^*$에 대응한다.

이제 정의역이 $C$를 포함하는 이변수함수 $f$를 하나 잡아, 각 표본점에서 그 값을 읽고 그 값에 해당 소호의 길이를 곱한 뒤 모두 더하면 다음을 얻는다.

$$\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta s_i.$$

이 결과는 정확히 리만합의 모양을 하고 있으므로, 적분의 정의를 일변수의 경우와 같은 방식으로 본뜰 수 있다.

x y O P0 P1 Pi−1 Pi Pn Pi* Δsi C
English

Start from a plane curve $C$ carrying the parametric description

$$x=x(t),\quad y=y(t),\quad a\le t\le b,$$

or equivalently the vector equation $\mathbf r(t)=x(t)\,\mathbf i+y(t)\,\mathbf j$, and assume $C$ is smooth: $\mathbf r'$ is continuous and $\mathbf r'(t)\neq\mathbf 0$ (see Section 13.3).

Chop $[a,b]$ into $n$ subintervals $[t_{i-1},t_i]$ of equal width and set $x_i=x(t_i)$, $y_i=y(t_i)$. The resulting points $P_i(x_i,y_i)$ cut $C$ into $n$ subarcs whose lengths are $\Delta s_1,\Delta s_2,\dots,\Delta s_n$. On the $i$th subarc select any point $P_i^*(x_i^*,y_i^*)$; it corresponds to some parameter value $t_i^*$ in $[t_{i-1},t_i]$.

Now take any function $f$ of two variables whose domain contains $C$, read off its value at each sample point, weight that value by the length of the subarc it came from, and add:

$$\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta s_i.$$

The result has exactly the shape of a Riemann sum, so the definition of the integral can be modeled on the single-variable one.

x y O P0 P1 Pi−1 Pi Pn Pi* Δsi C
DEF 3 호의 길이에 관한 선적분 Line Integral with Respect to Arc LengthDefinition 2 · p.1170
한국어

정의 2. $f$가 식 (1)로 서술되는 매끄러운 곡선 $C$의 모든 점에서 정의되어 있다고 하자. $C$를 따르는 $f$의 선적분은 다음 수이다.

$$\int_C f(x,y)\,ds=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta s_i,$$

단, 이 극한이 존재할 때에 한한다.

정신적으로는 새로울 것이 없다 — 구간이 곡선으로, 폭 $\Delta x_i$가 소호의 길이 $\Delta s_i$로 바뀌었을 뿐, 나머지는 모두 일변수 정적분의 방식을 그대로 따른다.

English

Definition 2. Suppose $f$ is defined at every point of a smooth curve $C$ described by Equations (1). The line integral of $f$ along $C$ is the number

$$\int_C f(x,y)\,ds=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta s_i,$$

provided this limit exists.

Nothing here is new in spirit: the interval has been replaced by a curve and the width $\Delta x_i$ by the subarc length $\Delta s_i$, and everything else follows the single-variable pattern.

THM 4 선적분의 계산 공식 Evaluation FormulaFormula (3) · p.1170
한국어

식 (3) — 선적분의 계산. $f$가 연속이면 정의 2의 극한은 반드시 존재하며, 매개변수에 관한 보통의 정적분으로 계산할 수 있다.

$$\int_C f(x,y)\,ds=\int_a^b f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt.$$

$C$를 다른 매개변수화로 서술하더라도, $t$가 $a$에서 $b$까지 증가하는 동안 곡선을 정확히 한 번만 지난다면 이렇게 얻은 값은 달라지지 않는다.

증명. $C$ 위에서 시작점 $\mathbf r(a)$부터 잰 호의 길이를 $s(t)=\displaystyle\int_a^t|\mathbf r'(u)|\,du$ 라 하면, 미적분학의 기본정리에 의해 $s$는 $[a,b]$에서 미분가능하고

$$s'(t)=|\mathbf r'(t)|=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}$$

이다. $C$가 매끄럽다는 가정에 의해 $\mathbf r'(t)\neq\mathbf 0$이므로 $s'(t)\gt0$이고, 따라서 $s$는 $[a,b]$에서 값 $[0,L]$($L$은 $C$ 전체의 길이)로 가는 증가함수이다.

이제 $a=t_0\lt t_1\lt\cdots\lt t_n=b$가 정의 2의 소호 분할을 준다고 하자. $i$번째 소호의 길이는 $\Delta s_i=s(t_i)-s(t_{i-1})$인데, 평균값 정리를 구간 $[t_{i-1},t_i]$ 위의 $s$에 적용하면 어떤 $t_i^{*}\in(t_{i-1},t_i)$가 있어

$$\Delta s_i=s'(t_i^{*})\,\Delta t_i=\bigl|\mathbf r'(t_i^{*})\bigr|\,\Delta t_i$$

를 만족한다. 다만 이 $t_i^{*}$는 평균값 정리가 지정해 준 점일 뿐이므로, 그것만 표본점으로 삼아서는 정의 2의 극한이 모든 표본점 선택에 대해 존재한다는 것을 알 수 없다. 그러니 표본점을 임의로 잡아 두고 출발하자. $i$번째 소호의 표본점 $P_i^{*}$가 매개변수값 $\tau_i\in[t_{i-1},t_i]$에 대응한다 하고 $h(t)=f\bigl(x(t),y(t)\bigr)$로 두면

$$\sum_{i=1}^{n}f(P_i^{*})\,\Delta s_i=\sum_{i=1}^{n}h(\tau_i)\,\bigl|\mathbf r'(t_i^{*})\bigr|\,\Delta t_i$$

이다. 이 합은 $g(t)=h(t)\,\lvert\mathbf r'(t)\rvert$의 리만합 $\sum_i g(t_i^{*})\,\Delta t_i$와 표본점이 어긋나 있지만, $M=\max_{[a,b]}\lvert\mathbf r'\rvert$(연속함수이므로 유한하다)라 두면 두 합의 차는

$$\left|\sum_{i=1}^{n}\bigl[h(\tau_i)-h(t_i^{*})\bigr]\,\bigl|\mathbf r'(t_i^{*})\bigr|\,\Delta t_i\right|\le M\,(b-a)\max_{1\le i\le n}\bigl|h(\tau_i)-h(t_i^{*})\bigr|$$

로 억제된다. $f$와 $\mathbf r$이 연속이므로 $h$는 닫힌구간 $[a,b]$에서 균등연속이고, $\tau_i$와 $t_i^{*}$는 같은 소구간에 들어 있어 $\lvert\tau_i-t_i^{*}\rvert\le\Delta t_i$이다. 따라서 분할의 폭을 $0$으로 보내면 이 오차는 $0$으로 간다. 한편 $g$는 $f$와 $\mathbf r'$의 연속성에 의해 $[a,b]$에서 연속이므로 리만합 $\sum_i g(t_i^{*})\,\Delta t_i$ 자체는 정적분으로 수렴한다. 두 사실을 합치면, 표본점을 어떻게 고르든

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(P_i^{*})\,\Delta s_i=\int_a^b f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\bigl|\mathbf r'(t)\bigr|\,dt=\int_a^b f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt$$

를 얻는다. 좌변이 정의 2에서 $\int_C f(x,y)\,ds$로 정의한 극한이므로, 이 극한은 항상 존재하고 식 (3)이 성립한다.

$\square$
English

Formula (3) — evaluating a line integral. If $f$ is continuous, the limit in Definition 2 is certain to exist, and it can be computed as an ordinary definite integral in the parameter:

$$\int_C f(x,y)\,ds=\int_a^b f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt.$$

The number produced does not change if $C$ is described by a different parametrization, as long as the curve is traced out exactly once while $t$ increases from $a$ to $b$.

Proof. Let $s(t)=\displaystyle\int_a^t|\mathbf r'(u)|\,du$ measure arc length along $C$ from the initial point $\mathbf r(a)$. By the Fundamental Theorem of Calculus, $s$ is differentiable on $[a,b]$ and

$$s'(t)=|\mathbf r'(t)|=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}.$$

Smoothness of $C$ gives $\mathbf r'(t)\neq\mathbf 0$, so $s'(t)\gt0$ and $s$ increases from $0$ to the total length $L$ of $C$ as $t$ runs from $a$ to $b$.

Let $a=t_0\lt t_1\lt\cdots\lt t_n=b$ produce the subarcs of Definition 2. The length of the $i$th subarc is $\Delta s_i=s(t_i)-s(t_{i-1})$, and the Mean Value Theorem applied to $s$ on $[t_{i-1},t_i]$ supplies some $t_i^{*}\in(t_{i-1},t_i)$ with

$$\Delta s_i=s'(t_i^{*})\,\Delta t_i=\bigl|\mathbf r'(t_i^{*})\bigr|\,\Delta t_i.$$

These $t_i^{*}$ are handed over by the Mean Value Theorem, so using them alone as sample points would not show that the limit in Definition 2 exists for every choice of sample points. Start instead from an arbitrary choice: let the sample point $P_i^{*}$ on the $i$th subarc sit at parameter value $\tau_i\in[t_{i-1},t_i]$, and abbreviate $h(t)=f\bigl(x(t),y(t)\bigr)$. Then

$$\sum_{i=1}^{n}f(P_i^{*})\,\Delta s_i=\sum_{i=1}^{n}h(\tau_i)\,\bigl|\mathbf r'(t_i^{*})\bigr|\,\Delta t_i.$$

This sum carries mismatched tags relative to the Riemann sum $\sum_i g(t_i^{*})\,\Delta t_i$ of $g(t)=h(t)\,\lvert\mathbf r'(t)\rvert$, but with $M=\max_{[a,b]}\lvert\mathbf r'\rvert$ (finite, the function being continuous) the gap between them obeys

$$\left|\sum_{i=1}^{n}\bigl[h(\tau_i)-h(t_i^{*})\bigr]\,\bigl|\mathbf r'(t_i^{*})\bigr|\,\Delta t_i\right|\le M\,(b-a)\max_{1\le i\le n}\bigl|h(\tau_i)-h(t_i^{*})\bigr|.$$

Continuity of $f$ and $\mathbf r$ makes $h$ uniformly continuous on the closed interval $[a,b]$, and $\tau_i$ and $t_i^{*}$ lie in the same subinterval, so $\lvert\tau_i-t_i^{*}\rvert\le\Delta t_i$; hence this error tends to $0$ as the mesh shrinks to $0$. Meanwhile $g$ is continuous on $[a,b]$, since $f$ and $\mathbf r'$ are, so the Riemann sums $\sum_i g(t_i^{*})\,\Delta t_i$ themselves converge to the definite integral. Combining the two facts, for every choice of sample points

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(P_i^{*})\,\Delta s_i=\int_a^b f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\bigl|\mathbf r'(t)\bigr|\,dt=\int_a^b f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt.$$

The left side is exactly the limit that Definition 2 calls $\int_C f(x,y)\,ds$; hence that limit always exists and Formula (3) holds.

$\square$
REM 5 $ds$의 기억법과 특수한 경우 Remembering $ds$; a Special CaseEquation 13.3.7 & NOTE · p.1170
한국어

$s(t)$를 $\mathbf r(a)$에서 $\mathbf r(t)$까지 $C$의 길이라 하면, 식 13.3.7에 의해

$$\frac{ds}{dt}=\lvert\mathbf r'(t)\rvert=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}},$$

이므로 식 (3)은 외워 둘 만한 요령으로 바뀐다. 모든 것을 매개변수 방정식에 실어 $x,y$를 $t$의 함수로 바꾸고, 기호 $ds$는 $\sqrt{(dx/dt)^{2}+(dy/dt)^{2}}\,dt$로 대신하면 된다.

주의. $C$가 $(a,0)$에서 $(b,0)$까지의 선분인 극단적인 경우를 생각해 보자. $x$ 자신을 매개변수로 삼으면 $x=x$, $y=0$, $a\le x\le b$가 되어 근호 안의 값이 $1$이 되고, 식 (3)은 다음으로 간단해진다.

$$\int_C f(x,y)\,ds=\int_a^b f(x,0)\,dx.$$

이렇게 되면 선적분은 보통의 정적분으로 되돌아가는데, 바로 이런 의미에서 선적분이 정적분을 일반화한 것이라 할 수 있다.

English

Let $s(t)$ measure the length of $C$ between $\mathbf r(a)$ and $\mathbf r(t)$. Then, by Equation 13.3.7,

$$\frac{ds}{dt}=\lvert\mathbf r'(t)\rvert=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}},$$

which turns Formula (3) into a recipe worth memorizing: push every ingredient through the parametric equations so that $x$ and $y$ become functions of $t$, and replace the symbol $ds$ by $\sqrt{(dx/dt)^{2}+(dy/dt)^{2}}\,dt$.

NOTE. Take the extreme case in which $C$ is the segment joining $(a,0)$ to $(b,0)$. Using $x$ itself as the parameter gives $x=x$, $y=0$, $a\le x\le b$, so the radical equals $1$ and Formula (3) collapses to

$$\int_C f(x,y)\,ds=\int_a^b f(x,0)\,dx.$$

The line integral has become an ordinary single integral, which is the sense in which it generalizes one.

NOTE 선적분의 넓이 해석 Area InterpretationFigure 2 · p.1171
한국어

음이 아닌 함수의 정적분이 넓이를 나타내듯, 선적분도 같은 방식으로 읽을 수 있다. $C$ 위에서 $f(x,y)\ge0$이라 하자. 곡선 위의 각 점 $(x,y)$ 바로 위에 높이 $f(x,y)$인 연직 선분을 세운다. 이 선분들이 훑고 지나가면서 $C$를 밑변으로 삼는 곡면의 띠 — 울타리, 또는 드리운 커튼 — 을 이루는데,

$$\int_C f(x,y)\,ds$$

는 바로 그 울타리 한쪽 면의 넓이이다. 울타리의 밑변은 곡선 $C$이고, 점 $(x,y)$ 위에서의 높이는 $f(x,y)$이다.

z y x O (x, y) f(x, y) C
English

A single integral of a nonnegative function measures an area, and the line integral admits the same reading. Suppose $f(x,y)\ge0$ on $C$. Above each point $(x,y)$ of the curve raise a vertical segment of height $f(x,y)$. The segments sweep out a strip of surface standing on $C$ — a fence, or a hanging curtain — and

$$\int_C f(x,y)\,ds$$

is the area of one side of that fence. The base of the fence is the curve $C$ and its height above $(x,y)$ is $f(x,y)$.

z y x O (x, y) f(x, y) C
REM 7 조각적으로 매끄러운 곡선 Piecewise-Smooth CurvesFigure 4 · p.1171
한국어

유한 개의 매끄러운 곡선 $C_1,C_2,\dots,C_n$을 끝에서 끝으로 이어 붙여 만든 곡선 — $C_{i+1}$의 시점이 $C_i$의 종점과 같은 — 을 조각적으로 매끄러운 곡선이라 한다. 이런 곡선은 모서리를 가질 수 있으므로 정의 2를 곧바로 적용할 수 없다. 대신 $C$ 위의 적분은 각 매끄러운 조각의 적분을 모두 더한 값으로 정의한다.

$$\int_C f(x,y)\,ds=\int_{C_1}f(x,y)\,ds+\int_{C_2}f(x,y)\,ds+\cdots+\int_{C_n}f(x,y)\,ds.$$

실제로는 조각마다 따로 매개변수화하여 식 (3)으로 계산한 뒤 그 값들을 더하면 된다. 예제 2가 정확히 이 방식으로 두 조각을 다룬다.

English

Call $C$ piecewise-smooth when it is assembled from finitely many smooth curves $C_1,C_2,\dots,C_n$ laid end to end — the initial point of $C_{i+1}$ being the terminal point of $C_i$. Such a curve may have corners, so Definition 2 does not apply to it directly; instead the integral over $C$ is declared to be the total collected from its smooth pieces:

$$\int_C f(x,y)\,ds=\int_{C_1}f(x,y)\,ds+\int_{C_2}f(x,y)\,ds+\cdots+\int_{C_n}f(x,y)\,ds.$$

In practice each piece gets its own parametrization, is handled by Formula (3), and the answers are added; Example 2 does exactly this with two pieces.

NOTE 철사의 질량과 질량중심 Mass and Center of Mass of a WireFormulas (4) · p.1172
한국어

선적분 $\int_C f(x,y)\,ds$가 지니는 물리적 의미는 모두 $f$ 자신이 지니는 물리적 의미에서 물려받은 것이다. 가느다란 철사가 곡선 $C$ 모양을 하고 있고, 점 $(x,y)$에서의 선밀도가 $\rho(x,y)$라 하자. $P_{i-1}$에서 $P_i$까지 이어지는 철사 조각의 질량은 $\rho(x_i^*,y_i^*)\,\Delta s_i$에 가깝고, 이 근삿값들을 모든 소호에 걸쳐 더하면 철사 전체의 질량을 근사한다. 곡선을 점점 더 잘게 표본화하면 이 근삿값들은 정확한 값으로 수렴한다.

$$m=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\rho(x_i^*,y_i^*)\,\Delta s_i=\int_C\rho(x,y)\,ds.$$

이렇게 읽으면 예제 1의 적분은 밀도가 $2+x^{2}y$인 반원 철사의 질량을 나타내는 셈이 된다.

철사의 균형점, 즉 질량중심은 다음을 만족하는 점 $(\bar x,\bar y)$이다.

$$\begin{aligned}\bar x&=\frac{1}{m}\int_C x\,\rho(x,y)\,ds\\ \bar y&=\frac{1}{m}\int_C y\,\rho(x,y)\,ds\end{aligned}$$

선적분의 물리적 해석은 이 장 뒤에서 더 나온다.

English

Whatever physical content a line integral $\int_C f(x,y)\,ds$ carries is inherited from the physical content of $f$. Let a thin wire occupy the curve $C$, and let $\rho(x,y)$ be its linear density at the point $(x,y)$. The stretch of wire from $P_{i-1}$ to $P_i$ then has mass close to $\rho(x_i^*,y_i^*)\,\Delta s_i$, and adding these estimates over all the subarcs approximates the mass of the whole wire. Sampling the curve ever more finely turns the approximations into an exact value:

$$m=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\rho(x_i^*,y_i^*)\,\Delta s_i=\int_C\rho(x,y)\,ds.$$

Read this way, the integral of Example 1 would give the mass of a semicircular wire of density $2+x^{2}y$.

The balance point of the wire, its center of mass, is the point $(\bar x,\bar y)$ with

$$\begin{aligned}\bar x&=\frac{1}{m}\int_C x\,\rho(x,y)\,ds\\ \bar y&=\frac{1}{m}\int_C y\,\rho(x,y)\,ds\end{aligned}$$

Further physical readings of line integrals appear later in the chapter.

DEF 9 $x$·$y$에 관한 선적분 Line Integrals with Respect to $x$ and $y$Formulas (5), (6) · p.1173
한국어

식 (5)와 (6). 정의 2에서 소호의 길이 $\Delta s_i$ 대신 좌표의 증분 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$, 또는 $\Delta y_i=y_i-y_{i-1}$을 쓰면 된다. 이렇게 얻은 두 극한을 각각 $C$를 따르는 $f$의 $x$에 관한 선적분과 $y$에 관한 선적분이라 한다.

$$\begin{aligned}\int_C f(x,y)\,dx&=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta x_i\\ \int_C f(x,y)\,dy&=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta y_i\end{aligned}$$

이제 세 가지 선적분이 함께 쓰이므로, 원래의 것도 이름을 따로 가질 필요가 있다. $\int_C f(x,y)\,ds$는 호의 길이에 관한 선적분이라 부른다.

English

Formulas (5) and (6). In Definition 2 replace the subarc length $\Delta s_i$ by the coordinate increment $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$, or by $\Delta y_i=y_i-y_{i-1}$. The two limits so obtained are the line integrals of $f$ along $C$ with respect to $x$ and to $y$:

$$\begin{aligned}\int_C f(x,y)\,dx&=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta x_i\\ \int_C f(x,y)\,dy&=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta y_i\end{aligned}$$

With three integrals now in circulation, the original one needs a name of its own: $\int_C f(x,y)\,ds$ is called the line integral with respect to arc length.

THM 10 $dx$·$dy$ 선적분의 계산 Evaluating the $dx$, $dy$ IntegralsFormulas (7) · p.1173
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식 (7). (5)·(6)의 적분도 마찬가지로 모든 것을 매개변수화에 실어 계산한다 — $x=x(t)$, $y=y(t)$, $dx=x'(t)\,dt$, $dy=y'(t)\,dt$.

$$\begin{aligned}\int_C f(x,y)\,dx&=\int_a^b f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,x'(t)\,dt\\ \int_C f(x,y)\,dy&=\int_a^b f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,y'(t)\,dt\end{aligned}$$

여기에는 근호가 등장하지 않는다는 점에 주목하자. $ds$와 달리 $dx$, $dy$의 증분은 한 좌표의 순수한 도함수로만 이루어진다.

이 장 전체에서 이 둘은 짝을 이루어 나타나는 일이 많다 — 식 (14)가 한 예이다 — 그럴 때는 관례적으로 하나의 적분 기호 아래 합쳐 쓴다.

$$\int_C P(x,y)\,dx+\int_C Q(x,y)\,dy=\int_C P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy.$$
English

Formulas (7). The integrals of (5) and (6) are again computed by pushing everything through the parametrization — $x=x(t)$, $y=y(t)$, $dx=x'(t)\,dt$, $dy=y'(t)\,dt$:

$$\begin{aligned}\int_C f(x,y)\,dx&=\int_a^b f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,x'(t)\,dt\\ \int_C f(x,y)\,dy&=\int_a^b f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,y'(t)\,dt\end{aligned}$$

Notice that no square root appears here: unlike $ds$, the increments $dx$ and $dy$ come with the plain derivative of a single coordinate.

Throughout this chapter the two turn up as a pair — Equation (14) is one instance — and when they do it is customary to run them together under one integral sign:

$$\int_C P(x,y)\,dx+\int_C Q(x,y)\,dy=\int_C P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy.$$
REM 11 선분의 매개변수 표현 Parametrizing a Line SegmentEquation (8) · p.1173
한국어

선적분을 설정하는 일은 흔히 맨 첫 단계에서 가장 까다롭다 — 곡선에 대한 기하학적 서술을 매개변수 방정식으로 바꾸는 일 말이다. 선분은 너무나 자주 등장하므로 표준적인 서술을 미리 기억해 둘 만하다. 점 $\mathbf r_0$에서 시작해 $\mathbf r_1$에서 끝나는 선분은 다음과 같이 주어진다.

$$\mathbf r(t)=(1-t)\,\mathbf r_0+t\,\mathbf r_1,\qquad 0\le t\le1$$

(식 12.5.4). $t=0$에서 이 공식은 $\mathbf r_0$을 내어 주고 $t=1$에서는 $\mathbf r_1$을 내어 주므로, 이동 방향은 두 끝점을 어떻게 표기하느냐에 따라 자동으로 정해진다. 예제 4와 6이 모두 이 표현을 사용한다.

English

Setting up a line integral is frequently hardest at its very first step: converting a geometric description of the curve into parametric equations. Segments occur so often that their standard description is worth keeping at hand. The segment that starts at $\mathbf r_0$ and finishes at $\mathbf r_1$ is given by

$$\mathbf r(t)=(1-t)\,\mathbf r_0+t\,\mathbf r_1,\qquad 0\le t\le1$$

(Equation 12.5.4). At $t=0$ the formula returns $\mathbf r_0$ and at $t=1$ it returns $\mathbf r_1$, so the direction of travel is built into the labelling of the two endpoints. Examples 4 and 6 both use it.

REM 12 곡선의 향과 부호 Orientation MattersFigure 8 · p.1174
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매개변수화 $x=x(t)$, $y=y(t)$, $a\le t\le b$는 $C$의 점들에 이름을 붙이는 데 그치지 않고 향도 함께 정한다 — $t$가 증가하는 방향이 양의 방향이다. 시점 $A$는 $t=a$에, 종점 $B$는 $t=b$에 대응한다.

같은 점들로 이루어져 있지만 방향만 반대인, 즉 $B$에서 $A$로 가는 곡선을 $-C$로 쓰자. 그러면

$$\begin{aligned}\int_{-C}f(x,y)\,dx&=-\int_C f(x,y)\,dx\\ \int_{-C}f(x,y)\,dy&=-\int_C f(x,y)\,dy\end{aligned}$$

이지만, 호의 길이에 관한 적분은 영향을 받지 않는다.

$$\int_{-C}f(x,y)\,ds=\int_C f(x,y)\,ds.$$

이유는 리만합을 보면 분명해진다. $\Delta s_i$는 길이이므로 곡선을 어느 방향으로 지나든 항상 양수이지만, $\Delta x_i$와 $\Delta y_i$는 좌표의 차이이므로 이동 방향이 반대가 되면 부호도 바뀐다. 예제 4가 이 두 사실을 수치로 직접 확인해 준다.

A B C : A → B A B −C : B → A
English

A parametrization $x=x(t)$, $y=y(t)$, $a\le t\le b$ does more than name the points of $C$: it also fixes an orientation, the positive direction being the one in which $t$ increases. The initial point $A$ belongs to $t=a$ and the terminal point $B$ to $t=b$.

Write $-C$ for the curve made of the same points as $C$ but run the other way, from $B$ to $A$. Then

$$\begin{aligned}\int_{-C}f(x,y)\,dx&=-\int_C f(x,y)\,dx\\ \int_{-C}f(x,y)\,dy&=-\int_C f(x,y)\,dy\end{aligned}$$

while the arc length integral is left alone:

$$\int_{-C}f(x,y)\,ds=\int_C f(x,y)\,ds.$$

The reason is legible in the Riemann sums. Each $\Delta s_i$ is a length and stays positive whichever way the curve is traversed, whereas $\Delta x_i$ and $\Delta y_i$ are coordinate differences and flip sign when the direction of travel is reversed. Example 4 exhibits both facts numerically.

A B C : A → B A B −C : B → A
THM 13 공간곡선 위의 선적분 Line Integrals in SpaceFormulas (9), (10) · p.1175
한국어

식 (9). $C$가 $x=x(t)$, $y=y(t)$, $z=z(t)$, $a\le t\le b$로 주어지는 매끄러운 공간곡선, 즉 $\mathbf r(t)=x(t)\,\mathbf i+y(t)\,\mathbf j+z(t)\,\mathbf k$이고, $f$는 $C$를 포함하는 영역에서 연속인 삼변수함수라 하자. 평면에서와 같은 소호의 극한으로 $\int_C f\,ds$를 정의하면 그 값은 다음과 같다.

$$\int_C f(x,y,z)\,ds=\int_a^b f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}\,dt=\int_a^b f(\mathbf r(t))\,\lvert\mathbf r'(t)\rvert\,dt.$$

오른쪽의 간결한 벡터 형태는 식 (3)도 함께 포괄한다. 근호 안의 값이 평면이든 공간이든 똑같이 $\lvert\mathbf r'(t)\rvert$이기 때문이다. $f$를 항등적으로 $1$로 두면 곡선의 길이 $\int_C ds=\int_a^b\lvert\mathbf r'(t)\rvert\,dt=L$이 나온다(식 13.3.3).

각 좌표에 관한 적분도 같은 방식으로 정의한다. 예컨대 $z$좌표에 관해서는

$$\int_C f(x,y,z)\,dz=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\,\Delta z_i=\int_a^b f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,z'(t)\,dt.$$

따라서 (10)의 결합 형태

$$\int_C P(x,y,z)\,dx+Q(x,y,z)\,dy+R(x,y,z)\,dz,$$

도 평면에서와 완전히 같은 방식으로 다룬다. $x,y,z,dx,dy,dz$를 모두 $t$로 나타낸 다음 $[a,b]$에 걸쳐 적분하면 된다.

English

Formula (9). Let $C$ be a smooth space curve $x=x(t)$, $y=y(t)$, $z=z(t)$, $a\le t\le b$, equivalently $\mathbf r(t)=x(t)\,\mathbf i+y(t)\,\mathbf j+z(t)\,\mathbf k$, and let $f$ be a function of three variables continuous on a region containing $C$. Defining $\int_C f\,ds$ by the same subarc limit used in the plane, its value is

$$\int_C f(x,y,z)\,ds=\int_a^b f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}}\,dt=\int_a^b f(\mathbf r(t))\,\lvert\mathbf r'(t)\rvert\,dt.$$

The compact vector form on the right also covers Formula (3), since the radical is exactly $\lvert\mathbf r'(t)\rvert$ in either dimension. Taking $f$ identically $1$ recovers the length of the curve, $\int_C ds=\int_a^b\lvert\mathbf r'(t)\rvert\,dt=L$ (Formula 13.3.3).

Integrals with respect to the individual coordinates are defined the same way; for the $z$-coordinate, for instance,

$$\int_C f(x,y,z)\,dz=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\,\Delta z_i=\int_a^b f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,z'(t)\,dt.$$

So an integral of the combined shape (10),

$$\int_C P(x,y,z)\,dx+Q(x,y,z)\,dy+R(x,y,z)\,dz,$$

is handled exactly as in the plane: express each of $x,y,z,dx,dy,dz$ in terms of $t$ and integrate over $[a,b]$.

NOTE 힘장이 한 일 Work Done by a Force FieldEquations (11), (12) · p.1176–1177
한국어

이 물음을 가늠할 수 있는 결과가 이미 두 가지 나와 있다. §5.4에서는 입자를 $x$축을 따라 $a$에서 $b$까지 옮기는 변력 $f(x)$가 한 일을 $W=\int_a^b f(x)\,dx$로 구했고, §12.3에서는 일정한 힘 $\mathbf F$가 변위 $\mathbf D$를 통해 한 일을 $W=\mathbf F\cdot\mathbf D$로 구했다. 이제 구하려는 것은 $\mathbb R^3$ 위의 연속인 힘장 $\mathbf F=P\,\mathbf i+Q\,\mathbf j+R\,\mathbf k$ — 이를테면 예제 16.1.4의 중력장이나 예제 16.1.5의 전기장 — 이 매끄러운 곡선 $C$를 따라 입자를 옮길 때 한 일이다. 평면 힘장은 $R=0$이고 $P,Q$가 $z$와 무관한 경우로 포함된다.

$[a,b]$를 폭이 같은 소구간으로 나누어 $C$를 길이 $\Delta s_i$인 소호로 자르고, $i$번째 소호 위에서 매개변수값 $t_i^*$에 대응하는 점 $P_i^*(x_i^*,y_i^*,z_i^*)$를 고르자. $\Delta s_i$가 작으면 입자는 그 소호를 단위접선벡터 $\mathbf T(t_i^*)$ 방향을 따라 거의 그대로 지나가므로, 그때의 변위는 $\Delta s_i\,\mathbf T(t_i^*)$에 가깝고 그 구간에서 입자에 한 일은 다음에 가깝다.

$$\mathbf F(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\cdot\bigl[\Delta s_i\,\mathbf T(t_i^*)\bigr]=\bigl[\mathbf F(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\cdot\mathbf T(t_i^*)\bigr]\Delta s_i.$$

이 기여들을 모두 더하면 전체 일에 대한 리만합 (11)을 얻는다.

$$\sum_{i=1}^{n}\bigl[\mathbf F(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\cdot\mathbf T(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\bigr]\Delta s_i,$$

여기서 $\mathbf T(x,y,z)$는 $C$의 점 $(x,y,z)$에서의 단위접선벡터이다. $n$이 커질수록 이 근삿값은 더 정확해질 것이므로, 힘장이 한 일 $W$는 그 극한으로 정의한다.

$$W=\int_C\mathbf F(x,y,z)\cdot\mathbf T(x,y,z)\,ds=\int_C\mathbf F\cdot\mathbf T\,ds.$$

식 (12)는 이를 말로 풀어 쓴 것이다 — 일은 힘의 접선성분을 호의 길이에 관하여 적분한 선적분이다.

English

Two earlier results bracket the question. Section 5.4 computed the work done by a variable force $f(x)$ that moves a particle along the $x$-axis from $a$ to $b$ as $W=\int_a^b f(x)\,dx$; Section 12.3 computed the work done by a constant force $\mathbf F$ through a displacement $\mathbf D$ as $W=\mathbf F\cdot\mathbf D$. What is wanted now is the work done by a continuous force field $\mathbf F=P\,\mathbf i+Q\,\mathbf j+R\,\mathbf k$ on $\mathbb R^3$ — the gravitational field of Example 16.1.4 or the electric field of Example 16.1.5, say — as it moves a particle along a smooth curve $C$. A plane force field is covered as the case $R=0$ with $P$ and $Q$ independent of $z$.

Split $C$ into subarcs of length $\Delta s_i$ by dividing $[a,b]$ into subintervals of equal width, and choose $P_i^*(x_i^*,y_i^*,z_i^*)$ on the $i$th subarc, at parameter value $t_i^*$. When $\Delta s_i$ is small the particle crosses that subarc travelling nearly along the unit tangent $\mathbf T(t_i^*)$, so its displacement there is close to $\Delta s_i\,\mathbf T(t_i^*)$ and the work done on it is close to

$$\mathbf F(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\cdot\bigl[\Delta s_i\,\mathbf T(t_i^*)\bigr]=\bigl[\mathbf F(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\cdot\mathbf T(t_i^*)\bigr]\Delta s_i.$$

Adding these contributions gives the Riemann sum (11) for the total work,

$$\sum_{i=1}^{n}\bigl[\mathbf F(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\cdot\mathbf T(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\bigr]\Delta s_i,$$

where $\mathbf T(x,y,z)$ is the unit tangent vector at the point $(x,y,z)$ of $C$. These estimates should improve as $n$ grows, so the work $W$ done by the field is defined to be their limit:

$$W=\int_C\mathbf F(x,y,z)\cdot\mathbf T(x,y,z)\,ds=\int_C\mathbf F\cdot\mathbf T\,ds.$$

Put in words, Equation (12) says that only the component of $\mathbf F$ along the curve contributes to the work, and that this tangential component is accumulated with respect to arc length.

DEF 15 벡터장의 선적분 Line Integral of a Vector FieldDefinition 13 · p.1177
한국어

$C$가 벡터방정식 $\mathbf r(t)=x(t)\,\mathbf i+y(t)\,\mathbf j+z(t)\,\mathbf k$로 주어지면 단위접선벡터는 $\mathbf T(t)=\mathbf r'(t)/\lvert\mathbf r'(t)\rvert$이므로, 식 (9)를 이용해 식 (12)를 다시 쓰면 $\lvert\mathbf r'(t)\rvert$가 두 번 나타났다 서로 약분되어 사라진다.

$$W=\int_a^b\left[\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\frac{\mathbf r'(t)}{\lvert\mathbf r'(t)\rvert}\right]\lvert\mathbf r'(t)\rvert\,dt=\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt.$$

이 적분은 $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$로 줄여 쓰는데, 일과는 무관한 물리학의 다른 분야에서도 등장하므로 역학적 맥락에서 따로 떼어 낼 이유가 충분하다.

정의 13. $\mathbf F$가 벡터함수 $\mathbf r(t)$, $a\le t\le b$로 주어지는 매끄러운 곡선 $C$ 위에서 정의된 연속인 벡터장이라 하자. $C$를 따르는 $\mathbf F$의 선적분은

$$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt=\int_C\mathbf F\cdot\mathbf T\,ds.$$

사용할 때 유의할 점이 두 가지 있다. 첫째, $\mathbf F(\mathbf r(t))$는 $\mathbf F\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)$를 줄여 쓴 것이므로, $\mathbf F(x,y,z)$의 식에 $x=x(t)$, $y=y(t)$, $z=z(t)$를 대입해서 계산한다. 둘째, 형식적으로 $d\mathbf r=\mathbf r'(t)\,dt$라 쓸 수 있는데, 이렇게 보면 표기 $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$는 알쏭달쏭한 기호가 아니라 그 자체로 기억을 돕는 표기가 된다.

English

When $C$ carries the vector equation $\mathbf r(t)=x(t)\,\mathbf i+y(t)\,\mathbf j+z(t)\,\mathbf k$ the unit tangent is $\mathbf T(t)=\mathbf r'(t)/\lvert\mathbf r'(t)\rvert$, so Formula (9) rewrites Equation (12) with the two occurrences of $\lvert\mathbf r'(t)\rvert$ cancelling:

$$W=\int_a^b\left[\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\frac{\mathbf r'(t)}{\lvert\mathbf r'(t)\rvert}\right]\lvert\mathbf r'(t)\rvert\,dt=\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt.$$

This integral is abbreviated $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$, and it occurs in parts of physics that have nothing to do with work, which is reason enough to detach it from the mechanical setting.

Definition 13. Let $\mathbf F$ be a continuous vector field defined on a smooth curve $C$ given by a vector function $\mathbf r(t)$, $a\le t\le b$. The line integral of $\mathbf F$ along $C$ is

$$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt=\int_C\mathbf F\cdot\mathbf T\,ds.$$

Two reminders when using it. First, $\mathbf F(\mathbf r(t))$ abbreviates $\mathbf F\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)$, so it is evaluated by substituting $x=x(t)$, $y=y(t)$, $z=z(t)$ into the formula for $\mathbf F(x,y,z)$. Second, one may formally write $d\mathbf r=\mathbf r'(t)\,dt$, which makes the notation $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$ mnemonic rather than mysterious.

REM 16 벡터장 선적분과 향 반전 Orientation Reverses the SignNOTE · p.1178
한국어

정의 13에 의해 $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_C\mathbf F\cdot\mathbf T\,ds$이고, 앞서 호의 길이에 관한 적분은 향에 영향을 받지 않음을 보았다. 그렇다면 $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$도 향에 무관하리라 짐작할 법하다. 그러나 실제로는 그렇지 않다 — 향이 피적분함수 안에 숨어 있기 때문이다. $C$를 $-C$로 바꾸면 단위접선벡터 $\mathbf T$가 $-\mathbf T$로 바뀌므로,

$$\int_{-C}\mathbf F\cdot d\mathbf r=-\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r.$$

물리적으로 말하면, 경로를 거꾸로 되짚어 가면 힘장이 한 일의 부호가 반대가 된다.

English

Definition 13 gives $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_C\mathbf F\cdot\mathbf T\,ds$, and integrals with respect to arc length were just seen to be indifferent to orientation. One might therefore expect $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$ to be indifferent too. It is not, because the orientation is hidden in the integrand: replacing $C$ by $-C$ replaces the unit tangent $\mathbf T$ by $-\mathbf T$, and so

$$\int_{-C}\mathbf F\cdot d\mathbf r=-\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r.$$

Physically: retracing the path reverses the sign of the work done by the field.

THM 17 벡터장 선적분 = 성분 선적분 Vector and Scalar Forms AgreeFormula (14) · p.1178–1179
한국어

식 (14). $\mathbb R^3$ 위의 장을 성분으로 $\mathbf F=P\,\mathbf i+Q\,\mathbf j+R\,\mathbf k$라 쓰면, $C$를 따르는 그 선적분은 결합적분 (10)과 같다.

$$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz.$$

원문에서 번호 (14)가 붙은 것은 평면 장 $\mathbf F=P\,\mathbf i+Q\,\mathbf j$에 대한 다음 등식이다.

$$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_C P\,dx+Q\,dy.$$

그러므로 벡터 표기와 성분 표기는 같은 수를 가리키며, 편한 쪽을 골라 쓰면 된다. 예컨대 예제 6의 적분 $\int_C y\,dx+z\,dy+x\,dz$는 장 $\mathbf F(x,y,z)=y\,\mathbf i+z\,\mathbf j+x\,\mathbf k$에 대한 $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$이다.

증명. 정의 13에 의해 $\displaystyle\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt$이다. $\mathbf F=P\,\mathbf i+Q\,\mathbf j+R\,\mathbf k$이고 $\mathbf r'(t)=x'(t)\,\mathbf i+y'(t)\,\mathbf j+z'(t)\,\mathbf k$이므로, 두 벡터의 내적을 성분별로 전개하면

$$\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)=P\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\,x'(t)+Q\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\,y'(t)+R\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\,z'(t)$$

를 얻는다. 이 식을 $a$에서 $b$까지 적분하고 적분의 선형성을 쓰면

$$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b P\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\,x'(t)\,dt+\int_a^b Q\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\,y'(t)\,dt+\int_a^b R\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\,z'(t)\,dt$$

이다. 우변의 세 항은 각각 식 (7)의 계산 공식(그리고 $z$에 대해서도 같은 꼴로 성립하는 식)이 $\int_C P\,dx$, $\int_C Q\,dy$, $\int_C R\,dz$에 대해 내어 주는 값과 정확히 같으므로

$$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_C P\,dx+\int_C Q\,dy+\int_C R\,dz=\int_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz$$

이고, 이것이 곧 식 (10)의 결합적분이다. 평면장 $\mathbf F=P\,\mathbf i+Q\,\mathbf j$의 경우는 $R\equiv0$, $z'(t)\equiv0$으로 두면 세 번째 항이 사라져 $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_C P\,dx+Q\,dy$가 된다.

$\square$
English

Formula (14). Let the field on $\mathbb R^3$ be written in components as $\mathbf F=P\,\mathbf i+Q\,\mathbf j+R\,\mathbf k$. Then its line integral along $C$ is the combined integral (10):

$$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz.$$

The number (14) is attached in the text to the plane case $\mathbf F=P\,\mathbf i+Q\,\mathbf j$:

$$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_C P\,dx+Q\,dy.$$

The vector notation and the component notation therefore name the same number, and either may be used as convenience dictates. The integral $\int_C y\,dx+z\,dy+x\,dz$ of Example 6, for instance, is $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$ for the field $\mathbf F(x,y,z)=y\,\mathbf i+z\,\mathbf j+x\,\mathbf k$.

Proof. Definition 13 gives $\displaystyle\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt$. Writing $\mathbf F=P\,\mathbf i+Q\,\mathbf j+R\,\mathbf k$ and $\mathbf r'(t)=x'(t)\,\mathbf i+y'(t)\,\mathbf j+z'(t)\,\mathbf k$ and expanding the dot product componentwise gives

$$\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)=P\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\,x'(t)+Q\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\,y'(t)+R\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\,z'(t).$$

Integrating this from $a$ to $b$ and using linearity of the integral,

$$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b P\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\,x'(t)\,dt+\int_a^b Q\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\,y'(t)\,dt+\int_a^b R\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\,z'(t)\,dt.$$

Each term on the right is exactly what Formula (7) — and the analogous formula in $z$ — gives for $\int_C P\,dx$, $\int_C Q\,dy$, $\int_C R\,dz$, so

$$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_C P\,dx+\int_C Q\,dy+\int_C R\,dz=\int_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz,$$

which is precisely the combined integral of Formula (10). For a plane field $\mathbf F=P\,\mathbf i+Q\,\mathbf j$, setting $R\equiv0$ and $z'(t)\equiv0$ makes the third term vanish, leaving $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_C P\,dx+Q\,dy$.

$\square$

예제 답안 · Worked Examples

EXAM 1 단위원 상반부 위의 선적분 A Line Integral over a SemicircleExample 1 · p.1171
한국어

$C$가 단위원 $x^{2}+y^{2}=1$ 가운데 $x$축 위쪽에 놓인 반원일 때, 선적분 $\int_C(2+x^{2}y)\,ds$의 값을 구하라.

풀이. $C$를 $x=\cos t,\ y=\sin t\ (0\le t\le\pi)$로 매개변수화하면 $x$축 위쪽 단위원의 절반을 정확히 한 번 지난다. 이때

$$ds=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}}\,dt=dt$$

이므로 식 (3)에 의해

$$\int_C(2+x^{2}y)\,ds=\int_0^{\pi}\bigl(2+\cos^{2}t\sin t\bigr)\,dt=\int_0^{\pi}2\,dt+\int_0^{\pi}\cos^{2}t\sin t\,dt$$

이다. 첫 항은 $2\pi$이다. 둘째 항은 $u=\cos t$로 치환하면 $du=-\sin t\,dt$이므로

$$\int_0^{\pi}\cos^{2}t\sin t\,dt=-\int_{1}^{-1}u^{2}\,du=\int_{-1}^{1}u^{2}\,du=\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac23$$

이다. 따라서 $\displaystyle\int_C(2+x^{2}y)\,ds=2\pi+\frac23$이다.

English

Compute $\int_C(2+x^{2}y)\,ds$, taking for $C$ the half of the unit circle $x^{2}+y^{2}=1$ that lies above the $x$-axis.

Solution. Parametrize $C$ by $x=\cos t,\ y=\sin t$ for $0\le t\le\pi$, which traces the upper half of the unit circle exactly once. Then

$$ds=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}}\,dt=dt,$$

so Formula (3) gives

$$\int_C(2+x^{2}y)\,ds=\int_0^{\pi}\bigl(2+\cos^{2}t\sin t\bigr)\,dt=\int_0^{\pi}2\,dt+\int_0^{\pi}\cos^{2}t\sin t\,dt.$$

The first term is $2\pi$. For the second, substitute $u=\cos t$, $du=-\sin t\,dt$:

$$\int_0^{\pi}\cos^{2}t\sin t\,dt=-\int_{1}^{-1}u^{2}\,du=\int_{-1}^{1}u^{2}\,du=\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac23.$$

Hence $\displaystyle\int_C(2+x^{2}y)\,ds=2\pi+\frac23$.

EXAM 2 두 조각으로 이어붙인 경로 A Path Made of Two Smooth PiecesExample 2 · p.1171–1172
한국어

경로 $C$는 포물선 $y=x^{2}$의 호 $C_1$(점 $(0,0)$에서 $(1,1)$까지)에 연직 선분 $C_2$(점 $(1,1)$에서 $(1,2)$까지)를 이어붙인 곡선이다. 선적분 $\int_C 2x\,ds$의 값을 구하라.

풀이. $C_1$은 $x=t,\ y=t^{2}\ (0\le t\le1)$로 매개변수화되고, $dx/dt=1,\ dy/dt=2t$이므로 $ds=\sqrt{1+4t^{2}}\,dt$이다. $u=1+4t^{2}$로 치환하면 $du=8t\,dt$이므로

$$\int_{C_1}2x\,ds=\int_0^{1}2t\sqrt{1+4t^{2}}\,dt=\frac14\int_{1}^{5}\sqrt u\,du=\frac14\left[\frac23u^{3/2}\right]_1^{5}=\frac{5\sqrt5-1}{6}$$

이다. $C_2$는 $x=1,\ y=t\ (1\le t\le2)$로, $ds=dt$이므로

$$\int_{C_2}2x\,ds=\int_1^{2}2\,dt=2$$

이다. $C=C_1\cup C_2$는 조각적으로 매끄러운 곡선이므로

$$\int_C2x\,ds=\int_{C_1}2x\,ds+\int_{C_2}2x\,ds=\frac{5\sqrt5-1}{6}+2=\frac{5\sqrt5+11}{6}$$

이다. 따라서 $\displaystyle\int_C2x\,ds=\frac{5\sqrt5+11}{6}$이다.

English

Let $C$ be the path built from the parabolic arc $C_1$ of $y=x^{2}$ running from $(0,0)$ to $(1,1)$, followed by the vertical segment $C_2$ that climbs from $(1,1)$ to $(1,2)$. Compute $\int_C 2x\,ds$.

Solution. Parametrize $C_1$ by $x=t,\ y=t^{2}$ for $0\le t\le1$; then $dx/dt=1$, $dy/dt=2t$, so $ds=\sqrt{1+4t^{2}}\,dt$. Substituting $u=1+4t^{2}$, $du=8t\,dt$,

$$\int_{C_1}2x\,ds=\int_0^{1}2t\sqrt{1+4t^{2}}\,dt=\frac14\int_{1}^{5}\sqrt u\,du=\frac14\left[\frac23u^{3/2}\right]_1^{5}=\frac{5\sqrt5-1}{6}.$$

For $C_2$, parametrized by $x=1,\ y=t$ for $1\le t\le2$, $ds=dt$ and

$$\int_{C_2}2x\,ds=\int_1^{2}2\,dt=2.$$

Since $C=C_1\cup C_2$ is piecewise smooth,

$$\int_C2x\,ds=\int_{C_1}2x\,ds+\int_{C_2}2x\,ds=\frac{5\sqrt5-1}{6}+2=\frac{5\sqrt5+11}{6}.$$

Hence $\displaystyle\int_C2x\,ds=\frac{5\sqrt5+11}{6}$.

EXAM 3 반원 철사의 질량중심 Center of Mass of a Semicircular WireExample 3 · p.1172–1173
한국어

반원 $x^{2}+y^{2}=1,\ y\ge0$ 모양으로 구부린 철사가 있다. 각 점에서의 선밀도가 그 점과 직선 $y=1$ 사이의 거리에 비례하므로, 이 철사는 꼭대기 쪽보다 밑동 쪽이 더 굵다. 철사의 질량중심을 구하라.

풀이. $C$를 $x=\cos t,\ y=\sin t\ (0\le t\le\pi)$로 매개변수화하면 $ds=dt$이고, 선밀도는 직선 $y=1$까지의 거리에 비례하므로 $\rho(x,y)=k(1-y)$이다($k$는 비례상수). 질량은

$$m=\int_C\rho\,ds=k\int_0^{\pi}(1-\sin t)\,dt=k\Bigl[t+\cos t\Bigr]_0^{\pi}=k\bigl[(\pi-1)-1\bigr]=k(\pi-2)$$

이다. $\bar x$는 계산 없이도 알 수 있다: $\rho$가 $y$만의 함수이고 $x=\cos t$는 $t\mapsto\pi-t$에 대해 부호가 바뀌는 반면 $\rho$는 이 치환으로 값이 그대로이므로, $x\rho\,ds$의 적분은 자신의 반수(反數)와 같아 $0$이다. 따라서 $\bar x=0$이다. 한편

$$\int_Cy\,\rho\,ds=k\int_0^{\pi}\sin t\,(1-\sin t)\,dt=k\left(\int_0^{\pi}\sin t\,dt-\int_0^{\pi}\sin^{2}t\,dt\right)=k\left(2-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{k(4-\pi)}{2}$$

이므로

$$\bar y=\frac1m\int_Cy\,\rho\,ds=\frac{k(4-\pi)/2}{k(\pi-2)}=\frac{4-\pi}{2(\pi-2)}\approx0.38$$

이다. 따라서 질량중심은 $\Bigl(0,\ \dfrac{4-\pi}{2(\pi-2)}\Bigr)\approx(0,0.38)$이다.

English

A wire is bent into the semicircle $x^{2}+y^{2}=1$, $y\ge0$. Its linear density at each point is proportional to the distance from that point to the line $y=1$, so the wire is thicker near its base than near its top. Locate the center of mass of the wire.

Solution. Parametrize $C$ by $x=\cos t,\ y=\sin t$ for $0\le t\le\pi$, so $ds=dt$; the linear density, proportional to distance from the line $y=1$, is $\rho(x,y)=k(1-y)$ for some constant $k$. The mass is

$$m=\int_C\rho\,ds=k\int_0^{\pi}(1-\sin t)\,dt=k\Bigl[t+\cos t\Bigr]_0^{\pi}=k\bigl[(\pi-1)-1\bigr]=k(\pi-2).$$

No computation is needed for $\bar x$: $\rho$ depends on $y$ alone, and under $t\mapsto\pi-t$ the factor $x=\cos t$ changes sign while $\rho$ is unchanged, so the integral of $x\rho\,ds$ equals its own negative and must vanish. Hence $\bar x=0$. For $\bar y$,

$$\int_Cy\,\rho\,ds=k\int_0^{\pi}\sin t\,(1-\sin t)\,dt=k\left(\int_0^{\pi}\sin t\,dt-\int_0^{\pi}\sin^{2}t\,dt\right)=k\left(2-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{k(4-\pi)}{2},$$

so

$$\bar y=\frac1m\int_Cy\,\rho\,ds=\frac{k(4-\pi)/2}{k(\pi-2)}=\frac{4-\pi}{2(\pi-2)}\approx0.38.$$

Hence the center of mass is $\Bigl(0,\ \dfrac{4-\pi}{2(\pi-2)}\Bigr)\approx(0,0.38)$.

EXAM 4 끝점이 같은 두 경로 Two Paths with the Same EndpointsExample 4 · p.1173–1174
한국어

점 $(-5,-3)$에서 점 $(0,2)$로 가는 서로 다른 두 경로를 따라 선적분 $\int_C y^{2}\,dx+x\,dy$를 각각 계산하라.

(a) $C=C_1$은 두 점을 잇는 선분이다.

(b) $C=C_2$는 포물선 $x=4-y^{2}$의 호이다.

x y 0 4 (0, 2) (−5, −3) C1 C2 x = 4 − y2

(a) 식 (8)에 의해 선분은 $\mathbf r(t)=(1-t)\langle-5,-3\rangle+t\langle0,2\rangle$, 즉 $x=-5+5t,\ y=-3+5t\ (0\le t\le1)$로 매개변수화된다. $dx=5\,dt,\ dy=5\,dt$이므로

$$\int_{C_1}y^{2}\,dx+x\,dy=\int_0^{1}\Bigl[(-3+5t)^{2}\cdot5+(-5+5t)\cdot5\Bigr]dt=\int_0^{1}\bigl(125t^{2}-125t+20\bigr)\,dt$$

이고, 이를 적분하면

$$\int_0^{1}\bigl(125t^{2}-125t+20\bigr)\,dt=\frac{125}{3}-\frac{125}{2}+20=-\frac56$$

를 얻는다. 즉 $\displaystyle\int_{C_1}y^{2}\,dx+x\,dy=-\frac56$이다.

(b) $C_2$는 포물선 $x=4-y^{2}$의 호이므로 $y=t$로 두면 $x=4-t^{2}$이고, $(-5,-3)$에서 $(0,2)$까지 가려면 $t$가 $-3$에서 $2$까지 증가해야 한다. $dx=-2t\,dt,\ dy=dt$이므로

$$\int_{C_2}y^{2}\,dx+x\,dy=\int_{-3}^{2}\Bigl[t^{2}(-2t)+(4-t^{2})\Bigr]dt=\int_{-3}^{2}\bigl(-2t^{3}-t^{2}+4\bigr)\,dt$$

이다. 부정적분은 $-\dfrac{t^{4}}{2}-\dfrac{t^{3}}{3}+4t$이므로

$$\left[-\frac{t^{4}}{2}-\frac{t^{3}}{3}+4t\right]_{-3}^{2}=\left(-8-\frac83+8\right)-\left(-\frac{81}{2}+9-12\right)=-\frac83+\frac{87}{2}=\frac{245}{6}$$

를 얻는다. 즉 $\displaystyle\int_{C_2}y^{2}\,dx+x\,dy=\frac{245}{6}$이다.

두 값 $-\dfrac56$과 $\dfrac{245}{6}$이 서로 다르므로, 이 선적분은 끝점만으로 결정되지 않고 경로 전체에 의존한다.

향에 따른 부호. 값은 향에도 달려 있다. $-C_1$은 $(0,2)$에서 $(-5,-3)$으로 되짚어 가는 선분이므로 식 (8)에서 $\mathbf r_0=\langle0,2\rangle$, $\mathbf r_1=\langle-5,-3\rangle$로 두면 $x=-5t,\ y=2-5t\ (0\le t\le1)$이고, $dx=-5\,dt,\ dy=-5\,dt$이므로

$$\int_{-C_1}y^{2}\,dx+x\,dy=\int_0^{1}\Bigl[(2-5t)^{2}(-5)+(-5t)(-5)\Bigr]dt=\int_0^{1}\bigl(-125t^{2}+125t-20\bigr)\,dt=\frac56$$

이다. $x$·$y$에 관한 두 적분이 모두 부호를 바꾸었으므로 합도 $-\dfrac56$에서 $\dfrac56$으로 부호만 뒤집혔다 — 카드 12의 향 반전 규칙 그대로이다.

English

Compute $\int_C y^{2}\,dx+x\,dy$ along each of two curves that join $(-5,-3)$ to $(0,2)$.

(a) Take $C=C_1$, the straight segment between those two points.

(b) Take $C=C_2$, the arc of the parabola $x=4-y^{2}$.

x y 0 4 (0, 2) (−5, −3) C1 C2 x = 4 − y2

(a) By Equation (8), the segment is $\mathbf r(t)=(1-t)\langle-5,-3\rangle+t\langle0,2\rangle$, i.e. $x=-5+5t,\ y=-3+5t$ for $0\le t\le1$. Since $dx=5\,dt$ and $dy=5\,dt$,

$$\int_{C_1}y^{2}\,dx+x\,dy=\int_0^{1}\Bigl[(-3+5t)^{2}\cdot5+(-5+5t)\cdot5\Bigr]dt=\int_0^{1}\bigl(125t^{2}-125t+20\bigr)\,dt,$$

and integrating gives

$$\int_0^{1}\bigl(125t^{2}-125t+20\bigr)\,dt=\frac{125}{3}-\frac{125}{2}+20=-\frac56.$$

So $\displaystyle\int_{C_1}y^{2}\,dx+x\,dy=-\frac56$.

(b) Since $C_2$ is the arc of $x=4-y^{2}$, set $y=t$, so $x=4-t^{2}$; going from $(-5,-3)$ to $(0,2)$ means $t$ increases from $-3$ to $2$. Since $dx=-2t\,dt$ and $dy=dt$,

$$\int_{C_2}y^{2}\,dx+x\,dy=\int_{-3}^{2}\Bigl[t^{2}(-2t)+(4-t^{2})\Bigr]dt=\int_{-3}^{2}\bigl(-2t^{3}-t^{2}+4\bigr)\,dt.$$

An antiderivative is $-\dfrac{t^{4}}{2}-\dfrac{t^{3}}{3}+4t$, so

$$\left[-\frac{t^{4}}{2}-\frac{t^{3}}{3}+4t\right]_{-3}^{2}=\left(-8-\frac83+8\right)-\left(-\frac{81}{2}+9-12\right)=-\frac83+\frac{87}{2}=\frac{245}{6}.$$

So $\displaystyle\int_{C_2}y^{2}\,dx+x\,dy=\frac{245}{6}$.

Because the two values $-\dfrac56$ and $\dfrac{245}{6}$ disagree, this line integral is not determined by the endpoints alone but depends on the full path.

Reversing the orientation. The value also depends on the direction of travel. For $-C_1$, the segment retraced from $(0,2)$ back to $(-5,-3)$, Equation (8) with $\mathbf r_0=\langle0,2\rangle$ and $\mathbf r_1=\langle-5,-3\rangle$ gives $x=-5t,\ y=2-5t$ for $0\le t\le1$, whence $dx=-5\,dt$, $dy=-5\,dt$ and

$$\int_{-C_1}y^{2}\,dx+x\,dy=\int_0^{1}\Bigl[(2-5t)^{2}(-5)+(-5t)(-5)\Bigr]dt=\int_0^{1}\bigl(-125t^{2}+125t-20\bigr)\,dt=\frac56.$$

Both the $x$- and the $y$-integral changed sign, so the total moved from $-\dfrac56$ to $\dfrac56$ — exactly the sign rule of card 12.

EXAM 5 나선 위의 선적분 A Line Integral along a HelixExample 5 · p.1175
한국어

원기둥나선 $x=\cos t,\ y=\sin t,\ z=t\ (0\le t\le 2\pi)$를 $C$라 할 때, 선적분 $\int_C y\sin z\,ds$의 값을 구하라.

풀이. $C$는 $x=\cos t,\ y=\sin t,\ z=t\ (0\le t\le2\pi)$이므로

$$ds=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+1^{2}}\,dt=\sqrt2\,dt$$

이다. 식 (9)에 의해

$$\int_Cy\sin z\,ds=\int_0^{2\pi}\sin t\,\sin t\cdot\sqrt2\,dt=\sqrt2\int_0^{2\pi}\sin^{2}t\,dt$$

인데, $\sin^{2}t$의 $[0,2\pi]$ 위 평균은 $\tfrac12$이므로 $\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin^{2}t\,dt=\pi$이다. 따라서 $\displaystyle\int_Cy\sin z\,ds=\sqrt2\,\pi$이다.

English

Compute $\int_C y\sin z\,ds$, taking for $C$ the circular helix traced out by $x=\cos t$, $y=\sin t$, $z=t$ as the parameter runs from $0$ to $2\pi$.

Solution. Since $C$ is given by $x=\cos t,\ y=\sin t,\ z=t$ for $0\le t\le2\pi$,

$$ds=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+1^{2}}\,dt=\sqrt2\,dt.$$

By Formula (9),

$$\int_Cy\sin z\,ds=\int_0^{2\pi}\sin t\,\sin t\cdot\sqrt2\,dt=\sqrt2\int_0^{2\pi}\sin^{2}t\,dt,$$

and since the average of $\sin^{2}t$ over $[0,2\pi]$ is $\tfrac12$, $\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin^{2}t\,dt=\pi$. Hence $\displaystyle\int_Cy\sin z\,ds=\sqrt2\,\pi$.

EXAM 6 꺾인 공간 경로 위의 성분 선적분 Components along a Broken Space PathExample 6 · p.1176
한국어

$C_1$은 점 $(2,0,0)$에서 $(3,4,5)$로 가는 선분이고, $C_2$는 이어서 $(3,4,5)$에서 $(3,4,0)$으로 내려가는 연직 선분이다. 이 둘을 이어붙인 경로 $C$에 대하여 선적분 $\int_C y\,dx+z\,dy+x\,dz$의 값을 구하라.

풀이. 식 (8)에 의해 $C_1$은 $\mathbf r(t)=(1-t)\langle2,0,0\rangle+t\langle3,4,5\rangle$, 즉 $x=2+t,\ y=4t,\ z=5t\ (0\le t\le1)$이다. $dx=dt,\ dy=4\,dt,\ dz=5\,dt$이므로

$$\int_{C_1}y\,dx+z\,dy+x\,dz=\int_0^{1}\bigl[4t+5t\cdot4+(2+t)\cdot5\bigr]dt=\int_0^{1}(29t+10)\,dt=\frac{29}{2}+10=\frac{49}{2}$$

이다. $C_2$는 $x=3,\ y=4$는 고정한 채 $z$가 $5$에서 $0$으로 내려가므로 $z=5-5t\ (0\le t\le1)$이고, $dx=0,\ dy=0,\ dz=-5\,dt$이므로

$$\int_{C_2}y\,dx+z\,dy+x\,dz=\int_0^{1}3\cdot(-5)\,dt=-15$$

이다. $C=C_1\cup C_2$는 조각적으로 매끄러우므로

$$\int_Cy\,dx+z\,dy+x\,dz=\frac{49}{2}+(-15)=\frac{19}{2}$$

이다. 따라서 $\displaystyle\int_Cy\,dx+z\,dy+x\,dz=\frac{19}{2}$이다. (식 (14)에 의해 이 값은 벡터장 $\mathbf F=y\,\mathbf i+z\,\mathbf j+x\,\mathbf k$에 대한 $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$과 같다.)

English

Let $C$ be made up of the segment $C_1$ running from $(2,0,0)$ to $(3,4,5)$ and then the vertical segment $C_2$ dropping from $(3,4,5)$ to $(3,4,0)$. Compute $\int_C y\,dx+z\,dy+x\,dz$.

Solution. By Equation (8), $C_1$ is $\mathbf r(t)=(1-t)\langle2,0,0\rangle+t\langle3,4,5\rangle$, i.e. $x=2+t,\ y=4t,\ z=5t$ for $0\le t\le1$. Since $dx=dt$, $dy=4\,dt$, $dz=5\,dt$,

$$\int_{C_1}y\,dx+z\,dy+x\,dz=\int_0^{1}\bigl[4t+5t\cdot4+(2+t)\cdot5\bigr]dt=\int_0^{1}(29t+10)\,dt=\frac{29}{2}+10=\frac{49}{2}.$$

On $C_2$, $x=3$ and $y=4$ stay fixed while $z$ drops from $5$ to $0$, so $z=5-5t$ for $0\le t\le1$, $dx=0$, $dy=0$, $dz=-5\,dt$, and

$$\int_{C_2}y\,dx+z\,dy+x\,dz=\int_0^{1}3\cdot(-5)\,dt=-15.$$

Since $C=C_1\cup C_2$ is piecewise smooth,

$$\int_Cy\,dx+z\,dy+x\,dz=\frac{49}{2}+(-15)=\frac{19}{2}.$$

Hence $\displaystyle\int_Cy\,dx+z\,dy+x\,dz=\frac{19}{2}$. (By Formula (14) this equals $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$ for the field $\mathbf F=y\,\mathbf i+z\,\mathbf j+x\,\mathbf k$.)

EXAM 7 사분원 위에서 힘장이 한 일 Work along a Quarter-CircleExample 7 · p.1178
한국어

힘장 $\mathbf F(x,y)=x^{2}\,\mathbf i-xy\,\mathbf j$가 사분원 $\mathbf r(t)=\cos t\,\mathbf i+\sin t\,\mathbf j\ (0\le t\le\pi/2)$를 따라 입자를 옮긴다. 이때 힘장이 한 일을 구하라.

풀이. $\mathbf r(t)=\cos t\,\mathbf i+\sin t\,\mathbf j$이므로 $\mathbf r'(t)=-\sin t\,\mathbf i+\cos t\,\mathbf j$이고, $\mathbf F(\mathbf r(t))=\cos^{2}t\,\mathbf i-\cos t\sin t\,\mathbf j$이다. 일은 식 (12)와 정의 13에 의해

$$W=\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_0^{\pi/2}\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt=\int_0^{\pi/2}\bigl[-\cos^{2}t\sin t-\cos^{2}t\sin t\bigr]dt=\int_0^{\pi/2}-2\cos^{2}t\sin t\,dt$$

이다. $\dfrac{d}{dt}\Bigl(\dfrac23\cos^{3}t\Bigr)=-2\cos^{2}t\sin t$이므로

$$W=\left[\frac23\cos^{3}t\right]_0^{\pi/2}=0-\frac23=-\frac23$$

이다. 따라서 $W=-\dfrac23$이며, 음수라는 것은 힘장이 입자의 운동을 방해하는 방향으로 작용함을 뜻한다.

English

A particle is carried along the quarter-circle $\mathbf r(t)=\cos t\,\mathbf i+\sin t\,\mathbf j$, $0\le t\le\pi/2$, by the force field $\mathbf F(x,y)=x^{2}\,\mathbf i-xy\,\mathbf j$. Determine how much work the field does.

Solution. Since $\mathbf r(t)=\cos t\,\mathbf i+\sin t\,\mathbf j$, we have $\mathbf r'(t)=-\sin t\,\mathbf i+\cos t\,\mathbf j$ and $\mathbf F(\mathbf r(t))=\cos^{2}t\,\mathbf i-\cos t\sin t\,\mathbf j$. By Equation (12) and Definition 13, the work is

$$W=\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_0^{\pi/2}\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt=\int_0^{\pi/2}\bigl[-\cos^{2}t\sin t-\cos^{2}t\sin t\bigr]dt=\int_0^{\pi/2}-2\cos^{2}t\sin t\,dt.$$

Since $\dfrac{d}{dt}\Bigl(\dfrac23\cos^{3}t\Bigr)=-2\cos^{2}t\sin t$,

$$W=\left[\frac23\cos^{3}t\right]_0^{\pi/2}=0-\frac23=-\frac23.$$

Hence $W=-\dfrac23$; the negative sign means the force field works against the particle's motion.

EXAM 8 비틀린 삼차곡선 위의 벡터장 선적분 A Vector Field along the Twisted CubicExample 8 · p.1178
한국어

벡터장이 $\mathbf F(x,y,z)=xy\,\mathbf i+yz\,\mathbf j+zx\,\mathbf k$이고 $C$가 비틀린 삼차곡선 $x=t,\ y=t^{2},\ z=t^{3}\ (0\le t\le1)$일 때, 선적분 $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$의 값을 구하라.

풀이. $\mathbf r(t)=\langle t,t^{2},t^{3}\rangle$이므로 $\mathbf r'(t)=\langle1,2t,3t^{2}\rangle$이고, $\mathbf F(\mathbf r(t))=\langle t\cdot t^{2},\,t^{2}\cdot t^{3},\,t^{3}\cdot t\rangle=\langle t^{3},t^{5},t^{4}\rangle$이다. 따라서

$$\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)=t^{3}\cdot1+t^{5}\cdot2t+t^{4}\cdot3t^{2}=t^{3}+2t^{6}+3t^{6}=t^{3}+5t^{6}$$

이고, 정의 13에 의해

$$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_0^{1}\bigl(t^{3}+5t^{6}\bigr)\,dt=\left[\frac{t^{4}}{4}+\frac{5t^{7}}{7}\right]_0^{1}=\frac14+\frac57=\frac{7+20}{28}=\frac{27}{28}$$

이다. 따라서 $\displaystyle\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\frac{27}{28}$이다.

English

Take the field $\mathbf F(x,y,z)=xy\,\mathbf i+yz\,\mathbf j+zx\,\mathbf k$, and let $C$ be the twisted cubic described by $x=t$, $y=t^{2}$, $z=t^{3}$ for $0\le t\le1$. Compute $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$.

Solution. Since $\mathbf r(t)=\langle t,t^{2},t^{3}\rangle$, we have $\mathbf r'(t)=\langle1,2t,3t^{2}\rangle$ and $\mathbf F(\mathbf r(t))=\langle t\cdot t^{2},\,t^{2}\cdot t^{3},\,t^{3}\cdot t\rangle=\langle t^{3},t^{5},t^{4}\rangle$. Hence

$$\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)=t^{3}\cdot1+t^{5}\cdot2t+t^{4}\cdot3t^{2}=t^{3}+2t^{6}+3t^{6}=t^{3}+5t^{6},$$

and by Definition 13,

$$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_0^{1}\bigl(t^{3}+5t^{6}\bigr)\,dt=\left[\frac{t^{4}}{4}+\frac{5t^{7}}{7}\right]_0^{1}=\frac14+\frac57=\frac{7+20}{28}=\frac{27}{28}.$$

Hence $\displaystyle\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\frac{27}{28}$.

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