개념 해석 · Concepts
16장의 마지막 절은 한 쪽짜리 표 하나로, 다섯 개의 핵심 항등식을 나란히 모아 놓는다. 첫 행의 미적분학의 기본정리가 출발점이고, 나머지 넷은 그것을 더 높은 차원으로 옮긴 것이다—한쪽 변에서는 어떤 종류의 “도함수”를 영역 전체에 걸쳐 적분하고, 다른 쪽 변에서는 원래 함수의 값을 그 영역의 경계에서만 읽어낸다. 공통된 형태를 한눈에 드러내려고 가정은 일부러 생략했으며, 정확한 조건은 표에 링크된 각 절에서 확인해야 한다.
| 곡선과 그 경계 — 끝점 | ||
|---|---|---|
| 미적분학의 기본정리 | $\displaystyle\int_a^b F'(x)\,dx=F(b)-F(a)$ | 구간 $[a,b]$ → 경계는 두 끝점 $a$, $b$ |
| 선적분의 기본정리 | $\displaystyle\int_C\nabla f\cdot d\mathbf r=f(\mathbf r(b))-f(\mathbf r(a))$ | 매끄러운 곡선 $C:\mathbf r(t)$, $a\le t\le b$ → 경계는 두 끝점 $\mathbf r(a)$, $\mathbf r(b)$ |
| 곡면과 그 경계 — 닫힌곡선 | ||
| 그린 정리 | $\displaystyle\iint_D\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)dA=\oint_C P\,dx+Q\,dy$ | 평면영역 $D$ → 경계는 양의 향(반시계 방향)을 준 닫힌곡선 $C$ |
| 스토크스 정리 | $\displaystyle\iint_S\operatorname{curl}\mathbf F\cdot d\mathbf S=\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$ | 유향곡면 $S$ (단위법선 $\mathbf n$) → 경계는 $\mathbf n$과 오른손 법칙으로 향을 맞춘 닫힌곡선 $C$ |
| 입체와 그 경계 — 닫힌곡면 | ||
| 발산정리 | $\displaystyle\iiint_E\operatorname{div}\mathbf F\,dV=\iint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S$ | 입체 $E$ → 경계는 바깥 법선을 준 닫힌곡면 $S$ |
표를 위에서 아래로 읽는 것이 곧 이 사다리를 읽는 것이다. 구간의 경계는 두 점이고 곡선의 경계도 두 끝점이며, 평면영역과 유향곡면의 경계는 닫힌곡선이고 입체의 경계는 닫힌곡면이다—영역의 차원이 한 단계씩 올라갈 때마다 그 경계의 차원도 함께 올라간다. 이 중 두 연결은 단순한 비유를 넘어선다. 그린 정리는 곡면 $S$가 $xy$평면 위에 놓이고 법선이 $\mathbf n=\mathbf k$인 경우의 스토크스 정리와 정확히 같다—이때 $\operatorname{curl}\mathbf F\cdot\mathbf k=\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y$이기 때문이다. 그리고 발산정리는 그린 정리의 발산형(플럭스 형태)—§16.5의 식 (13) $\oint_C\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds=\iint_D\operatorname{div}\mathbf F(x,y)\,dA$—를 한 차원 위로 올린 것이다: 경계곡선을 지나는 플럭스가 경계곡면을 지나는 플럭스가 되고, 평면영역 위의 이중적분이 입체 위의 삼중적분이 된다.
표기에 관해 두 가지만 짚어 둔다. 원문 요약표는 그린 정리 행과 스토크스 정리 행의 경계 위 적분을 $\int_C$로 적는다—이 페이지에서 쓴 $\oint_C$의 동그라미는 §16.4에서 약속한 대로 $C$가 닫힌곡선이며 양의 향으로 한 번 도는 것을 나타낸다. 두 행 모두 그 향을 이미 전제하고 있으므로 두 표기가 가리키는 값은 같다. 또한 향은 서로 바꿔 쓸 수 있는 정보가 아니다: 스토크스 정리 행에서는 $C$의 방향이 오른손 법칙으로 $\mathbf n$과 묶여 있고, 마지막 행에서는 $S=\partial E$가 반드시 바깥 법선을 가져야 한다—둘 중 하나라도 뒤집으면 등식의 부호가 바뀐다.
다섯 진술 중 어느 것도 이 페이지에서 증명하지 않고, 가정을 붙여 진술하지도 않는다. 이 표는 기억을 돕는 장치이고, 남길 문장은 하나다—영역 위에서 도함수를 적분하면 그 영역의 경계에서 읽은 원함수가 나온다. 경계가 두 점이면 두 값의 차로, 곡선이나 곡면이면 적분으로 나타날 뿐이다.
The last section of Chapter 16 is a single page that lines five main identities up side by side. The first row, the Fundamental Theorem of Calculus, is the starting point; the other four are its higher-dimensional versions. In each of them, on one side some kind of “derivative” is integrated over a region, and on the other the original function is read off along the boundary of that region alone. The hypotheses are dropped on purpose so that the shared shape is easier to see; the precise conditions belong to the sections linked in the table.
| Curves and their endpoints | ||
|---|---|---|
| Fundamental Theorem of Calculus | $\displaystyle\int_a^b F'(x)\,dx=F(b)-F(a)$ | interval $[a,b]$ → boundary: the two endpoints $a$, $b$ |
| Fundamental Theorem for Line Integrals | $\displaystyle\int_C\nabla f\cdot d\mathbf r=f(\mathbf r(b))-f(\mathbf r(a))$ | smooth curve $C:\mathbf r(t)$, $a\le t\le b$ → boundary: the two endpoints $\mathbf r(a)$, $\mathbf r(b)$ |
| Surfaces and their boundary curves | ||
| Green's Theorem | $\displaystyle\iint_D\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)dA=\oint_C P\,dx+Q\,dy$ | plane region $D$ → boundary: the closed curve $C$ taken with positive (counterclockwise) orientation |
| Stokes' Theorem | $\displaystyle\iint_S\operatorname{curl}\mathbf F\cdot d\mathbf S=\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$ | oriented surface $S$ with unit normal $\mathbf n$ → boundary: the closed curve $C$ oriented by the right-hand rule relative to $\mathbf n$ |
| Solids and their boundary surfaces | ||
| Divergence Theorem | $\displaystyle\iiint_E\operatorname{div}\mathbf F\,dV=\iint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S$ | solid $E$ → boundary: the closed surface $S$ carrying the outward normal |
Reading the table downward is reading that ladder. An interval is bounded by two points, a curve by its two endpoints, a plane region and an oriented surface by a closed curve, a solid by a closed surface: every step up in the dimension of the region raises the dimension of its boundary as well. Two of the links are more than an analogy. Green's Theorem is exactly the case of Stokes' Theorem in which $S$ lies flat in the $xy$-plane with $\mathbf n=\mathbf k$, so that $\operatorname{curl}\mathbf F\cdot\mathbf k=\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y$; and the Divergence Theorem is Green's Theorem in divergence (flux) form — equation (13) of §16.5, $\oint_C\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds=\iint_D\operatorname{div}\mathbf F(x,y)\,dA$ — carried up one dimension: the flux across a boundary curve becomes the flux across a boundary surface, and the double integral over a plane region becomes a triple integral over a solid.
Two remarks on notation. On its summary page the textbook writes the boundary integrals of the Green and Stokes rows as $\int_C$; the ring in $\oint_C$ used here is the shorthand introduced in §16.4, recording that $C$ is closed and is traversed once in its positive direction. Both rows already assume that orientation, so the two notations name the same number. And the orientations are not interchangeable data: in the Stokes row the direction of $C$ is tied to $\mathbf n$ by the right-hand rule, while in the last row $S=\partial E$ must carry the outward normal — reversing either one flips the sign of the identity.
None of the five statements is proved, or even stated with its hypotheses, on this page; the table is a memory device. The one sentence worth keeping is that integrating a derivative over a region gives back the original function read off on the boundary of that region — as a difference of two values when the boundary is a pair of points, and as an integral when it is a curve or a surface.
연결 · Links
(a) 강의 노트 대응 — 미적분학 2 단원 14 (스토크스 정리와 발산 정리)
- 이 절의 요약표에 해당하는 카드는 강의 노트에 없음 — 다섯 정리를 한자리에 모아 비교하는 대목이 강의 노트에는 등장하지 않는다.
- 표의 각 행에 해당하는 강의 노트 카드는 그 정리를 다루는 절 페이지(§16.3, §16.4, §16.8, §16.9)의 연결 카드에서 확인할 것.
- 아래 과제 문항이 가리키는 Chapter 16 Review 문제 중 두 개는 강의 노트에 유사 문항이 있다 — yu04-3 (Review 36과 같은 유형), pr05 (Review 38과 같은 유형).
(b) 공통과제 (§16.10, 4차)
제출 문항: 36, 37, 38 / 학습 참고: 2~9, 10, 11~14, 15~19, 24, 25, 26-(a), 27~30, 31~40
- 이 번호들은 §16.10 자체의 문항이 아니라 Chapter 16 Review Exercises의 번호다. 과제표에 “16.10 Summary (Review)” 행으로 실려 있어 절 번호가 붙었을 뿐, §16.10에는 연습문제가 하나도 없다.
- 이 페이지에는 번호만 안내하고 문제와 풀이는 싣지 않는다.
(c) 이웃 절 — 이전: §16.9 발산정리 / 다음: 없음 — 16장의 마지막 절이다 (Stewart 홈).
(a) Corresponding lecture notes — Calculus II, Unit 14 (Stokes' Theorem and the Divergence Theorem)
- No card of the lecture notes corresponds to this summary table: the notes never collect the five theorems in one place for comparison.
- For the lecture-note cards matching the individual rows, see the links card on the section page for each theorem — §16.3, §16.4, §16.8, §16.9.
- Two of the Chapter 16 Review problems named below do have close relatives in the notes: yu04-3 (same type as Review 36) and pr05 (same type as Review 38).
(b) Assignment (§16.10, fourth set)
Problems to submit: 36, 37, 38 / Recommended practice: 2–9, 10, 11–14, 15–19, 24, 25, 26(a), 27–30, 31–40
- These numbers are Chapter 16 Review Exercises, not problems of Section 16.10. The assignment table lists them on a row headed “16.10 Summary (Review)”, which is where the section number comes from; Section 16.10 itself has no exercises at all.
- Only the numbers are given here; the problems and their solutions are not reproduced on this page.
(c) Neighboring sections — Previous: §16.9 The Divergence Theorem / Next: none — this is the last section of Chapter 16 (Stewart index).