개념 해석 · Concepts

DEF 1 구면좌표 Spherical CoordinatesFigure 1 · p.1140
한국어

구면좌표. 공간에 있는 점 $P$의 위치는 세 수의 순서쌍 $(\rho,\theta,\phi)$로 정해지며, 각각은 다음을 뜻한다.

(a) $\rho=|OP|$는 $P$가 원점에서 떨어진 거리이고;

(b) $\theta$는 원기둥좌표에서와 똑같은 각으로, $xy$평면에서 잰다;

(c) $\phi$는 선분 $OP$가 양의 $z$축과 이루는 각이다.

이 좌표들은 $\rho\ge 0$, $0\le\phi\le\pi$의 범위로 제한된다.

$\phi$는 양의 $z$축에서 재고 $\pi$를 넘지 않으므로, $\phi$가 북극에서 남극까지 움직이는 동안 $\theta$가 한 바퀴 돌면 공간의 모든 방향이 빠짐없이 나타난다(다만 $z$축 방향인 $\phi=0$과 $\phi=\pi$에서는 $\theta$가 무엇이든 같은 방향이 된다). 이 좌표계는 한 점에 대해 대칭인 문제에서 진가를 발휘한다. 그 점을 원점으로 잡으면 구나 원뿔로 둘러싸인 영역 위의 삼중적분을 세우기가 훨씬 쉬워진다.

z y x O P(ρ, θ, φ) P′ ρ φ θ
English

Spherical Coordinates. A point $P$ in space is located by the triple $(\rho,\theta,\phi)$, in which

(a) $\rho=|OP|$ is how far $P$ lies from the origin;

(b) $\theta$ is the very same angle used in cylindrical coordinates, measured in the $xy$-plane;

(c) $\phi$ is the angle that the segment $OP$ makes with the positive $z$-axis.

These coordinates are restricted by $\rho\ge 0$ and $0\le\phi\le\pi$.

Because $\phi$ is measured from the positive $z$-axis and never exceeds $\pi$, letting $\phi$ run from the north pole to the south pole while $\theta$ runs once around reaches every direction in space (only the two axial directions $\phi=0$ and $\phi=\pi$ come out the same for every $\theta$). The system earns its keep on problems with symmetry about a single point: place the origin there, and a triple integral over a solid whose boundary is made of spheres or cones becomes far easier to set up.

z y x O P(ρ, θ, φ) P′ ρ φ θ
REM 2 좌표면 Coordinate SurfacesFigures 2–4 · p.1140
한국어

세 좌표 중 하나를 상수 $c$로 고정하면 곡면이 하나 남는데, 셋 다 낯익은 모양이다. $\rho=c$로 고정하면 원점을 중심으로 하는 반지름 $c$의 구가 되며, 바로 이것이 이 좌표계의 이름이 유래한 곳이다. $\theta=c$로 고정하면 $z$축에 경첩처럼 붙은 수직 반평면이 되고, $\phi=c$로 고정하면 $z$축을 축으로 하는 반원뿔이 된다 — $0\lt c\lt\pi/2$이면 위쪽으로 열리고 $\pi/2\lt c\lt\pi$이면 아래쪽으로 열린다. 따라서 경계가 구와 원뿔로 이루어진 입체는 구면좌표에서 상수들 사이의 부등식만으로 기술된다.

z y x ρ = c z y x θ = c z y x c φ = c
English

Freezing one coordinate at a value $c$ leaves a surface, and all three of them are familiar shapes. Setting $\rho=c$ gives the sphere of radius $c$ centered at the origin, which is exactly where the name of the system comes from. Setting $\theta=c$ gives a vertical half-plane hinged on the $z$-axis, and setting $\phi=c$ gives a half-cone whose axis is the $z$-axis — opening upward for $0\lt c\lt\pi/2$ and downward for $\pi/2\lt c\lt\pi$. Consequently a solid whose boundary is made of spheres and cones is described in spherical coordinates by nothing more than inequalities between constants.

z y x ρ = c z y x θ = c z y x c φ = c
THM 3 구면좌표와 직교좌표의 변환 Conversion FormulasEq. (1)(2) · Figure 5 · p.1140
한국어

식 (1)과 (2) — 두 좌표계 사이를 오가는 변환식. 어떤 점의 구면좌표가 $(\rho,\theta,\phi)$이고 직교좌표가 $(x,y,z)$이면,

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\phi.\tag{1}$$

이고, 원점으로부터의 거리는 다음을 만족시킨다.

$$\rho^2=x^2+y^2+z^2.\tag{2}$$

식 (1)은 구면좌표로 기술된 것을 $x,y,z$로 바꾸어 써야 할 때 쓰는 식이고, 식 (2)는 거리공식을 다시 쓴 것에 지나지 않으며 반대 방향 — 즉 직교좌표에서 구면좌표를 구하는 — 의 출발점이 된다. 이후 남은 두 각은 $\cos\phi=z/\rho$와 식 (1)로부터 구한다.

증명. $P$에서 $z$축에 내린 수선의 발을 $Q$, $xy$평면에 내린 수선의 발을 $P'$이라 하자. 직각삼각형 $OPQ$는 $Q$에서 직각이고 빗변이 $OP=\rho$이며, $O$에서의 각이 바로 $\phi$의 정의이므로 $OQ=\rho\cos\phi$, $QP=\rho\sin\phi$이다. 그런데 $OQ$는 $P$의 $z$좌표이고 $QP$는 $P$에서 $z$축까지의 거리, 곧 원기둥좌표의 $r$이므로 $z=\rho\cos\phi$, $r=\rho\sin\phi$를 얻는다. 이 값은 직각삼각형 $OPP'$(빗변 $OP=\rho$, 직각은 $P'$, 다리는 $OP'=r$과 $PP'=|z|$)의 피타고라스 정리 $r^2+z^2=\rho^2$과도 들어맞는다 — 실제로 $\sin^2\phi+\cos^2\phi=1$이 정확히 그 등식이다. (그림은 $0\lt\phi\lt\pi/2$인 경우이다. $\phi\gt\pi/2$이면 $Q$가 원점 아래에 놓여 삼각형 $OPQ$의 $O$에서의 각이 $\pi-\phi$가 되므로 $OQ=-\rho\cos\phi$, 곧 $z=\rho\cos\phi\lt0$이 되어 부호까지 그대로 성립하며, $\phi=0,\pi/2,\pi$인 경우는 직접 확인된다.)

한편 $P'$은 $xy$평면 위의 점이고, $\theta$는 정의상 $OP'$이 양의 $x$축과 이루는 각이므로 원기둥좌표(또는 극좌표)에서와 똑같이 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$이다. 여기에 $r=\rho\sin\phi$를 대입하면

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\phi\sin\theta$$

가 되고, 앞서 얻은 $z=\rho\cos\phi$와 합쳐 식 (1)이 완성된다. 마지막으로 식 (1)의 세 등식을 각각 제곱하여 더하면

$$x^2+y^2+z^2=\rho^2\sin^2\phi\cos^2\theta+\rho^2\sin^2\phi\sin^2\theta+\rho^2\cos^2\phi=\rho^2\sin^2\phi(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+\rho^2\cos^2\phi=\rho^2(\sin^2\phi+\cos^2\phi)=\rho^2$$

이므로 식 (2)를 얻는다. 이는 애초에 $\rho=|OP|$가 거리공식으로 정의되었다는 사실의 재확인이기도 하다.

$\square$
English

Equations (1) and (2) — passing between the two coordinate systems. If a point has spherical coordinates $(\rho,\theta,\phi)$ and rectangular coordinates $(x,y,z)$, then

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\phi.\tag{1}$$

and the distance from the origin satisfies

$$\rho^2=x^2+y^2+z^2.\tag{2}$$

Equations (1) are the ones to use when a spherical description has to be rewritten in $x$, $y$, $z$; equation (2), which is only the distance formula in disguise, is the starting point in the opposite direction, after which the remaining two angles come from $\cos\phi=z/\rho$ and from (1).

Proof. Let $Q$ be the foot of the perpendicular from $P$ to the $z$-axis, and let $P'$ be the foot of the perpendicular from $P$ to the $xy$-plane. In the right triangle $OPQ$, the right angle sits at $Q$, the hypotenuse is $OP=\rho$, and the angle at $O$ is precisely the angle $\phi$ used to define spherical coordinates; hence $OQ=\rho\cos\phi$ and $QP=\rho\sin\phi$. Since $OQ$ is the $z$-coordinate of $P$ and $QP$ is the distance from $P$ to the $z$-axis — that is, the cylindrical radius $r$ — this reads $z=\rho\cos\phi$ and $r=\rho\sin\phi$. These values also agree with the right triangle $OPP'$ (hypotenuse $OP=\rho$, right angle at $P'$, legs $OP'=r$ and $PP'=|z|$), whose Pythagorean identity $r^2+z^2=\rho^2$ is exactly the statement $\sin^2\phi+\cos^2\phi=1$. (The figure shows the case $0\lt\phi\lt\pi/2$. For $\phi\gt\pi/2$ the point $Q$ falls below the origin, the angle at $O$ in triangle $OPQ$ is $\pi-\phi$, and $OQ=-\rho\cos\phi$, so $z=\rho\cos\phi\lt0$ and the formulas hold with their signs intact; the cases $\phi=0,\pi/2,\pi$ are immediate.)

Meanwhile $P'$ lies in the $xy$-plane, and $\theta$ is by definition the angle that $OP'$ makes with the positive $x$-axis, so exactly as in cylindrical (or polar) coordinates, $x=r\cos\theta$ and $y=r\sin\theta$. Substituting $r=\rho\sin\phi$ turns these into

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\phi\sin\theta,$$

which together with $z=\rho\cos\phi$ constitute equations (1). Finally, squaring and adding the three equations in (1) gives

$$x^2+y^2+z^2=\rho^2\sin^2\phi\cos^2\theta+\rho^2\sin^2\phi\sin^2\theta+\rho^2\cos^2\phi=\rho^2\sin^2\phi(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+\rho^2\cos^2\phi=\rho^2(\sin^2\phi+\cos^2\phi)=\rho^2,$$

which is equation (2) — consistent with the fact that $\rho=|OP|$ was defined via the distance formula in the first place.

$\square$
REM 4 표기에 대한 경고 Notation WarningWarning box · p.1141
한국어

구면좌표의 기호는 표준화되어 있지 않다. 대부분의 물리학 교재에서는 $\theta$와 $\phi$의 역할이 서로 바뀌어 있어서, 그 책들에서는 $\phi$가 $xy$평면에서 잰 각이고 $\theta$가 양의 $z$축에서 아래로 잰 각이다. 또한 이 책이 $\rho$로 쓰는 자리에 그 책들은 $r$을 쓴다. 다른 자료에서 공식을 가져다 쓸 때는 두 관례 가운데 어느 쪽을 따르고 있는지 먼저 확인해야 한다.

English

The symbols used for spherical coordinates are not standardized. In most physics texts the roles of $\theta$ and $\phi$ are interchanged, so that there $\phi$ is the angle in the $xy$-plane and $\theta$ is the angle measured down from the positive $z$-axis; those texts also write $r$ where this book writes $\rho$. Before borrowing a formula from another source, check which of the two conventions it follows.

DEF 5 구면 쐐기 Spherical WedgeSpherical wedge · p.1141
한국어

구면 쐐기. 직교좌표에서 직육면체가 하는 역할을 구면좌표에서는 구면 쐐기가 한다. 즉 각 좌표가 두 상수 사이에 갇힌 입체로,

$$E=\{(\rho,\theta,\phi)\mid a\le\rho\le b,\ \alpha\le\theta\le\beta,\ c\le\phi\le d\},$$

단 $a\ge 0$, $\beta-\alpha\le 2\pi$, $d-c\le\pi$를 만족시킨다.

이런 입체의 모든 면은 앞 카드의 좌표면 가운데 하나에 놓인다. 즉 동심구 두 개, 수직 반평면 두 개, 반원뿔 두 개이다. 세 조건은 $\rho$가 음수가 되지 않게 하고, $\theta$와 $\phi$의 범위가 각각 한 바퀴와 반 바퀴를 넘지 않게 하여, 입체의 어느 부분도 두 번 훑히지 않도록 한다.

English

Spherical Wedge. What a rectangular box is to rectangular coordinates, a spherical wedge is to spherical coordinates: a solid on which each coordinate is trapped between two constants,

$$E=\{(\rho,\theta,\phi)\mid a\le\rho\le b,\ \alpha\le\theta\le\beta,\ c\le\phi\le d\},$$

subject to $a\ge 0$, $\beta-\alpha\le 2\pi$, and $d-c\le\pi$.

Every face of such a solid sits on one of the coordinate surfaces of the previous card: two concentric spheres, two vertical half-planes, two half-cones. The three side conditions keep $\rho$ from going negative and keep the ranges of $\theta$ and $\phi$ from exceeding one full turn and one half-turn respectively, so that no part of the solid gets swept twice.

NOTE 구면 쐐기의 부피와 리만 합 Volume of a Spherical Wedge and the Riemann SumFigure 7 · p.1141–1142
한국어

삼중적분은 입체를 작은 직육면체로 나누어 정의했지만, 작은 구면 쐐기로 나누어도 언제나 같은 값이 나온다는 것이 알려져 있다. 그래서 $E$를 등간격의 구 $\rho=\rho_i$, 반평면 $\theta=\theta_j$, 반원뿔 $\phi=\phi_k$로 잘라내면, 조각 $E_{ijk}$는 직육면체에 매우 가까워서 그 부피를 세 변의 길이만으로 읽어낼 수 있다. 한 변은 반지름 방향이고 길이는 $\Delta\rho$이다. 두 번째 변은 반지름 $\rho_i$인 원에서 각 $\Delta\phi$에 대응하는 호이므로 길이는 $\rho_i\,\Delta\phi$이다. 세 번째 변은 반지름이 $\rho_i\sin\phi_k$ — 즉 $z$축까지의 거리 — 인 원에서 각 $\Delta\theta$에 대응하는 호이므로 길이는 $\rho_i\sin\phi_k\,\Delta\theta$이다. 이 세 길이를 곱하면

$$\Delta V_{ijk}\approx(\Delta\rho)\left(\rho_i\,\Delta\phi\right)\left(\rho_i\sin\phi_k\,\Delta\theta\right)=\rho_i^{\,2}\sin\phi_k\;\Delta\rho\,\Delta\theta\,\Delta\phi,$$

를 얻는다. 평균값 정리(연습문제 51)를 쓰면 이 근사는 $E_{ijk}$ 안의 어떤 점 $(\tilde\rho_i,\tilde\theta_j,\tilde\phi_k)$에서 등식 $\Delta V_{ijk}=\tilde\rho_i^{\,2}\sin\tilde\phi_k\;\Delta\rho\,\Delta\theta\,\Delta\phi$가 된다. 이를 $f$의 삼중 리만 합에 대입하면 다음 함수에 대한 보통의 리만 합이 얻어진다.

$$F(\rho,\theta,\phi)=f\!\left(\rho\sin\phi\cos\theta,\ \rho\sin\phi\sin\theta,\ \rho\cos\phi\right)\rho^2\sin\phi$$

이는 직육면체 $[a,b]\times[\alpha,\beta]\times[c,d]$ 위에서의 리만 합이며, 분할을 잘게 할수록 다음 카드의 공식 (3)에 이른다. 즉 인자 $\rho^2\sin\phi$는 장식이 아니라 얇은 셀 하나의 부피 그 자체이다.

z y x O φ ρ Δρ ρ Δφ ρ sin φ Δθ ΔV = ρ² sin φ Δρ Δθ Δφ
English

Triple integrals were defined by cutting a solid into small boxes, but cutting it into small spherical wedges is known to give the same value every time. So cut $E$ with equally spaced spheres $\rho=\rho_i$, half-planes $\theta=\theta_j$, and half-cones $\phi=\phi_k$; the pieces $E_{ijk}$ are so nearly rectangular boxes that their volumes can be read off from their edges. One edge is radial and has length $\Delta\rho$; a second is an arc of a circle of radius $\rho_i$ subtending the angle $\Delta\phi$, hence of length $\rho_i\,\Delta\phi$; the third is an arc of a circle of radius $\rho_i\sin\phi_k$ — the distance from the $z$-axis — subtending $\Delta\theta$, hence of length $\rho_i\sin\phi_k\,\Delta\theta$. Multiplying the three gives

$$\Delta V_{ijk}\approx(\Delta\rho)\left(\rho_i\,\Delta\phi\right)\left(\rho_i\sin\phi_k\,\Delta\theta\right)=\rho_i^{\,2}\sin\phi_k\;\Delta\rho\,\Delta\theta\,\Delta\phi,$$

and the Mean Value Theorem (Exercise 51) turns the approximation into an equality at some point $(\tilde\rho_i,\tilde\theta_j,\tilde\phi_k)$ of $E_{ijk}$, namely $\Delta V_{ijk}=\tilde\rho_i^{\,2}\sin\tilde\phi_k\;\Delta\rho\,\Delta\theta\,\Delta\phi$. Substituting this into a triple Riemann sum for $f$ produces an ordinary Riemann sum for the function

$$F(\rho,\theta,\phi)=f\!\left(\rho\sin\phi\cos\theta,\ \rho\sin\phi\sin\theta,\ \rho\cos\phi\right)\rho^2\sin\phi$$

on the box $[a,b]\times[\alpha,\beta]\times[c,d]$, and letting the mesh shrink yields formula (3) of the next card. So the factor $\rho^2\sin\phi$ is not decoration: it is the volume of one thin cell.

z y x O φ ρ Δρ ρ Δφ ρ sin φ Δθ ΔV = ρ² sin φ Δρ Δθ Δφ
THM 7 구면좌표에서의 삼중적분 Triple Integration in Spherical CoordinatesFormula (3) · p.1142
한국어

식 (3) — 구면좌표에서의 삼중적분. $E$가 구면 쐐기 $a\le\rho\le b$, $\alpha\le\theta\le\beta$, $c\le\phi\le d$라 하자. 그러면

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV=\int_c^d\!\!\int_\alpha^\beta\!\!\int_a^b f\!\left(\rho\sin\phi\cos\theta,\ \rho\sin\phi\sin\theta,\ \rho\cos\phi\right)\rho^2\sin\phi\ d\rho\,d\theta\,d\phi.\tag{3}$$

안쪽부터 읽으면, 이 반복적분은 먼저 반지름 방향 선분을 훑고, 그 선분을 $z$축 둘레로 돌려 원뿔면 위의 띠를 만든 다음, 그 띠를 $\phi=c$에서 $\phi=d$까지 기울여 $E$ 전체를 쓸어낸다. $0\le\phi\le\pi$ 전체에서 $\sin\phi\ge 0$이므로, 가중치 $\rho^2\sin\phi$의 부호는 결코 바뀌지 않는다.

증명. 앞 카드처럼 $E$를 구 $\rho=\rho_i$, 반평면 $\theta=\theta_j$, 반원뿔 $\phi=\phi_k$로 잘게 나누어 조각 $E_{ijk}$를 만들면, 평균값 정리에 의해 어떤 점 $(\tilde\rho_i,\tilde\theta_j,\tilde\phi_k)\in E_{ijk}$에서 정확히

$$\Delta V_{ijk}=\tilde\rho_i^{\,2}\sin\tilde\phi_k\;\Delta\rho\,\Delta\theta\,\Delta\phi$$

이다. 이 분할로 $\iiint_E f\,dV$의 리만 합을 만들면, 조각 $E_{ijk}$를 대표하는 점의 직교좌표는 식 (1)에 의해 $(\tilde\rho_i\sin\tilde\phi_k\cos\tilde\theta_j,\ \tilde\rho_i\sin\tilde\phi_k\sin\tilde\theta_j,\ \tilde\rho_i\cos\tilde\phi_k)$이므로 그 합은

$$\sum_{i,j,k} f\!\left(\tilde\rho_i\sin\tilde\phi_k\cos\tilde\theta_j,\ \tilde\rho_i\sin\tilde\phi_k\sin\tilde\theta_j,\ \tilde\rho_i\cos\tilde\phi_k\right)\tilde\rho_i^{\,2}\sin\tilde\phi_k\;\Delta\rho\,\Delta\theta\,\Delta\phi$$

가 된다. 이것은 다름 아니라 직육면체 $[a,b]\times[\alpha,\beta]\times[c,d]$ 위에서 함수 $F(\rho,\theta,\phi)=f(\rho\sin\phi\cos\theta,\rho\sin\phi\sin\theta,\rho\cos\phi)\rho^2\sin\phi$에 대한 통상적인(직교좌표계에서의) 리만 합이다. 이 장의 관례대로 $f$가 $E$에서 연속이라고 하면 $F$도 그 직육면체에서 연속이다. 따라서 분할을 $\Delta\rho,\Delta\theta,\Delta\phi\to0$으로 잘게 하면, 이 하나의 합이 한편으로는 $\iiint_E f\,dV$로 수렴하고 다른 한편으로는 직육면체 위 $F$의 통상적인 삼중적분으로 수렴한다. 극한값은 유일하므로

$$\begin{aligned}\iiint_E f\,dV&=\int_c^d\!\!\int_\alpha^\beta\!\!\int_a^b F(\rho,\theta,\phi)\,d\rho\,d\theta\,d\phi\\&=\int_c^d\!\!\int_\alpha^\beta\!\!\int_a^b f\!\left(\rho\sin\phi\cos\theta,\ \rho\sin\phi\sin\theta,\ \rho\cos\phi\right)\rho^2\sin\phi\ d\rho\,d\theta\,d\phi\end{aligned}$$

이 성립하며, 이것이 곧 식 (3)이다.

$\square$
English

Formula (3) — triple integration in spherical coordinates. Let $E$ be the spherical wedge $a\le\rho\le b$, $\alpha\le\theta\le\beta$, $c\le\phi\le d$. Then

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV=\int_c^d\!\!\int_\alpha^\beta\!\!\int_a^b f\!\left(\rho\sin\phi\cos\theta,\ \rho\sin\phi\sin\theta,\ \rho\cos\phi\right)\rho^2\sin\phi\ d\rho\,d\theta\,d\phi.\tag{3}$$

Read from the inside out, the iterated integral first sweeps a radial segment, then swings that segment around the $z$-axis into a band lying on a cone, and finally tilts the band from $\phi=c$ down to $\phi=d$ until all of $E$ has been swept out. Note that $\sin\phi\ge 0$ throughout $0\le\phi\le\pi$, so the weight $\rho^2\sin\phi$ never changes sign.

Proof. As in the previous card, cut $E$ with spheres $\rho=\rho_i$, half-planes $\theta=\theta_j$, and half-cones $\phi=\phi_k$ into pieces $E_{ijk}$; the Mean Value Theorem guarantees that at some point $(\tilde\rho_i,\tilde\theta_j,\tilde\phi_k)\in E_{ijk}$,

$$\Delta V_{ijk}=\tilde\rho_i^{\,2}\sin\tilde\phi_k\;\Delta\rho\,\Delta\theta\,\Delta\phi.$$

Building a Riemann sum for $\iiint_E f\,dV$ from this partition, the rectangular coordinates of the representative point of $E_{ijk}$ are $(\tilde\rho_i\sin\tilde\phi_k\cos\tilde\theta_j,\ \tilde\rho_i\sin\tilde\phi_k\sin\tilde\theta_j,\ \tilde\rho_i\cos\tilde\phi_k)$ by equations (1), so the sum reads

$$\sum_{i,j,k} f\!\left(\tilde\rho_i\sin\tilde\phi_k\cos\tilde\theta_j,\ \tilde\rho_i\sin\tilde\phi_k\sin\tilde\theta_j,\ \tilde\rho_i\cos\tilde\phi_k\right)\tilde\rho_i^{\,2}\sin\tilde\phi_k\;\Delta\rho\,\Delta\theta\,\Delta\phi.$$

This is nothing but an ordinary (rectangular-coordinate) Riemann sum for the function $F(\rho,\theta,\phi)=f(\rho\sin\phi\cos\theta,\rho\sin\phi\sin\theta,\rho\cos\phi)\rho^2\sin\phi$ on the box $[a,b]\times[\alpha,\beta]\times[c,d]$. Taking $f$ continuous on $E$, as is standing practice in this chapter, $F$ is continuous on that box. Hence, as the mesh shrinks ($\Delta\rho,\Delta\theta,\Delta\phi\to0$), this one sum converges on the one hand to $\iiint_E f\,dV$ and on the other to the ordinary triple integral of $F$ over the box. A limit is unique, so

$$\begin{aligned}\iiint_E f\,dV&=\int_c^d\!\!\int_\alpha^\beta\!\!\int_a^b F(\rho,\theta,\phi)\,d\rho\,d\theta\,d\phi\\&=\int_c^d\!\!\int_\alpha^\beta\!\!\int_a^b f\!\left(\rho\sin\phi\cos\theta,\ \rho\sin\phi\sin\theta,\ \rho\cos\phi\right)\rho^2\sin\phi\ d\rho\,d\theta\,d\phi,\end{aligned}$$

which is precisely equation (3).

$\square$
REM 8 부피소와 일반화, 쓰는 시점 Volume Element, Extension, and When to Use ItFigure 8 · p.1142
한국어

실제로 공식 (3)은 세 단계로 적용된다. $x,y,z$ 자리에 식 (1)의 표현을 대입하고, 입체를 $\rho,\theta,\phi$로 기술하는 적분 한계를 정하고, $dV$를 부피소

$$dV=\rho^2\sin\phi\ d\rho\,d\theta\,d\phi$$

로 바꾸는 것이다. 이 공식은 구면 쐐기에만 국한되지 않는다. 반지름 방향 한계가 두 각에 의존해도 되어, 예를 들어

$$E=\{(\rho,\theta,\phi)\mid \alpha\le\theta\le\beta,\ c\le\phi\le d,\ g_1(\theta,\phi)\le\rho\le g_2(\theta,\phi)\},$$

인 경우에도 안쪽 적분 한계의 상수 $a,b$를 $g_1(\theta,\phi)$, $g_2(\theta,\phi)$로 바꾸기만 하면 식 (3)이 그대로 성립한다. 대체로 적분 영역의 경계가 구나 원뿔일 때 구면좌표를 쓰는 것이 적절하다.

English

In practice formula (3) is applied as a three-step recipe: substitute the expressions of (1) for $x$, $y$, $z$; choose limits that describe the solid in terms of $\rho$, $\theta$, $\phi$; and trade $dV$ for the volume element

$$dV=\rho^2\sin\phi\ d\rho\,d\theta\,d\phi.$$

The formula is not confined to wedges. If the radial limits are allowed to depend on the two angles, say

$$E=\{(\rho,\theta,\phi)\mid \alpha\le\theta\le\beta,\ c\le\phi\le d,\ g_1(\theta,\phi)\le\rho\le g_2(\theta,\phi)\},$$

then (3) still holds word for word, with the constants $a$ and $b$ in the inner limits replaced by $g_1(\theta,\phi)$ and $g_2(\theta,\phi)$. As a rule of thumb, spherical coordinates are the right choice when the region of integration is bounded by spheres or cones.

예제 답안 · Worked Examples

EXAM 1 구면좌표에서 직교좌표로 From Spherical to Rectangular CoordinatesExample 1 · p.1140–1141
한국어

구면좌표가 $\left(2,\ \dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{\pi}{3}\right)$인 점이 있다. 이 점의 위치를 그림으로 나타내고, 직교좌표를 구하라.

풀이. $\phi=\pi/3\lt\pi/2$이므로 점은 $xy$평면 위쪽에 있고, $\theta=\pi/4$이므로 양의 $x$축에서 반시계 방향으로 $45^\circ$ 돌아간 수직 반평면 위에 놓인다. 직교좌표는 식 (1)에 $\rho=2$, $\theta=\pi/4$, $\phi=\pi/3$을 대입해 얻는다. $\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}2$, $\cos\dfrac\pi3=\dfrac12$, $\cos\dfrac\pi4=\sin\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}2$이므로

$$\begin{aligned}x&=2\sin\frac\pi3\cos\frac\pi4=2\cdot\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt6}2,\\ y&=2\sin\frac\pi3\sin\frac\pi4=2\cdot\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt6}2,\\ z&=2\cos\frac\pi3=2\cdot\frac12=1.\end{aligned}$$

($\theta=\pi/4$에서 $\cos\theta=\sin\theta$이므로 $x=y$가 되는 것은 당연하다.) 세 좌표가 모두 양수이므로 점은 제1팔분공간에 있으며, 이는 앞서 말한 위치와 일치한다. 따라서 직교좌표는 $\left(\dfrac{\sqrt6}2,\ \dfrac{\sqrt6}2,\ 1\right)$이다.

English

A point is described in spherical coordinates by $\left(2,\ \dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{\pi}{3}\right)$. Sketch where it sits, and determine its rectangular coordinates.

Solution. Since $\phi=\pi/3\lt\pi/2$, the point lies above the $xy$-plane, and since $\theta=\pi/4$, it sits on the vertical half-plane turned $45^\circ$ counterclockwise from the positive $x$-axis. The rectangular coordinates come from substituting $\rho=2$, $\theta=\pi/4$, $\phi=\pi/3$ into equations (1). With $\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}2$, $\cos\dfrac\pi3=\dfrac12$, and $\cos\dfrac\pi4=\sin\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}2$,

$$\begin{aligned}x&=2\sin\frac\pi3\cos\frac\pi4=2\cdot\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt6}2,\\ y&=2\sin\frac\pi3\sin\frac\pi4=2\cdot\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt6}2,\\ z&=2\cos\frac\pi3=2\cdot\frac12=1.\end{aligned}$$

(Since $\cos\theta=\sin\theta$ at $\theta=\pi/4$, it is expected that $x=y$.) All three coordinates are positive, placing the point in the first octant, which matches the location described above. Hence the rectangular coordinates are $\left(\dfrac{\sqrt6}2,\ \dfrac{\sqrt6}2,\ 1\right)$.

EXAM 2 직교좌표에서 구면좌표로 From Rectangular to Spherical CoordinatesExample 2 · p.1141
한국어

직교좌표가 $\left(0,\ 2\sqrt{3},\ -2\right)$인 점의 구면좌표 $(\rho,\theta,\phi)$를 구하라.

풀이. 식 (2)로 $\rho$부터 구한다.

$$\rho^2=0^2+(2\sqrt3)^2+(-2)^2=12+4=16\ \Longrightarrow\ \rho=4.$$

$\cos\phi=z/\rho=-2/4=-1/2$인데 코사인은 $0\le\phi\le\pi$에서 일대일이므로 $\phi=2\pi/3$이다($z\lt0$이므로 점이 $xy$평면 아래, 즉 $\phi\gt\pi/2$ 쪽에 있다는 것과도 맞는다). 남은 것은 $\theta$인데, $\sin\phi=\sin(2\pi/3)=\sqrt3/2\gt0$이므로 $r=\rho\sin\phi=4\cdot\dfrac{\sqrt3}2=2\sqrt3$이고, 식 (1)은 $x=\rho\sin\phi\cos\theta=r\cos\theta$, $y=\rho\sin\phi\sin\theta=r\sin\theta$를 뜻하므로

$$\cos\theta=\frac{x}{r}=\frac0{2\sqrt3}=0,\qquad \sin\theta=\frac{y}{r}=\frac{2\sqrt3}{2\sqrt3}=1.$$

$\cos\theta=0$을 만족시키는 값은 $\pi/2$와 $3\pi/2$ 두 개이지만, $\sin\theta=1\gt0$인 쪽은 $\theta=\pi/2$뿐이다. 따라서 구면좌표는 $(\rho,\theta,\phi)=\left(4,\ \dfrac\pi2,\ \dfrac{2\pi}3\right)$이다.

English

Determine spherical coordinates $(\rho,\theta,\phi)$ for the point whose rectangular coordinates are $\left(0,\ 2\sqrt{3},\ -2\right)$.

Solution. Find $\rho$ first, from equation (2).

$$\rho^2=0^2+(2\sqrt3)^2+(-2)^2=12+4=16\ \Longrightarrow\ \rho=4.$$

Then $\cos\phi=z/\rho=-2/4=-1/2$, and since cosine is one-to-one on $0\le\phi\le\pi$, $\phi=2\pi/3$ (consistent with $z\lt0$ placing the point below the $xy$-plane, i.e. on the side where $\phi\gt\pi/2$). It remains to find $\theta$: since $\sin\phi=\sin(2\pi/3)=\sqrt3/2\gt0$, $r=\rho\sin\phi=4\cdot\dfrac{\sqrt3}2=2\sqrt3$, and equations (1) read $x=\rho\sin\phi\cos\theta=r\cos\theta$ and $y=\rho\sin\phi\sin\theta=r\sin\theta$, so

$$\cos\theta=\frac{x}{r}=\frac0{2\sqrt3}=0,\qquad \sin\theta=\frac{y}{r}=\frac{2\sqrt3}{2\sqrt3}=1.$$

Both $\pi/2$ and $3\pi/2$ satisfy $\cos\theta=0$, but only $\theta=\pi/2$ also satisfies $\sin\theta=1\gt0$. Hence the spherical coordinates are $(\rho,\theta,\phi)=\left(4,\ \dfrac\pi2,\ \dfrac{2\pi}3\right)$.

EXAM 3 단위공 위의 지수함수 삼중적분 An Exponential Integral over the Unit BallExample 3 · p.1142–1143
한국어

$B$가 단위공 $B=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le 1\}$일 때, 삼중적분

$$\iiint_B e^{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}\,dV$$

의 값을 구하라.

풀이. 단위공은 구면좌표에서 $0\le\rho\le1$, $0\le\theta\le2\pi$, $0\le\phi\le\pi$인 구면 쐐기이다. $x^2+y^2+z^2=\rho^2$이므로 피적분함수는 $e^{(\rho^2)^{3/2}}=e^{\rho^3}$이 되어 세 변수로 완전히 분리되며, 이는 직교좌표에서는 원시함수를 구할 수조차 없는 함수가 구면좌표에서는 다루기 쉬워지는 전형적인 예이다. 식 (3)에서

$$\begin{aligned}\iiint_B e^{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}\,dV&=\int_0^\pi\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 e^{\rho^3}\,\rho^2\sin\phi\ d\rho\,d\theta\,d\phi\\&=\left(\int_0^\pi\sin\phi\,d\phi\right)\left(\int_0^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_0^1\rho^2e^{\rho^3}\,d\rho\right).\end{aligned}$$

첫 두 인자는 $\displaystyle\int_0^\pi\sin\phi\,d\phi=\bigl[-\cos\phi\bigr]_0^\pi=2$, $\displaystyle\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi$이다. 마지막 인자는 $u=\rho^3$, $du=3\rho^2\,d\rho$로 치환하면

$$\int_0^1\rho^2e^{\rho^3}\,d\rho=\frac13\int_0^1e^u\,du=\frac13\bigl(e-1\bigr).$$

세 인자를 곱하면 $2\cdot2\pi\cdot\dfrac13(e-1)=\dfrac{4\pi}3(e-1)$이다. 따라서 $\displaystyle\iiint_B e^{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,dV=\dfrac{4\pi}3(e-1)$이다.

English

Let $B$ denote the unit ball $B=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le 1\}$. Compute the triple integral

$$\iiint_B e^{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}\,dV.$$

Solution. In spherical coordinates the unit ball is the spherical wedge $0\le\rho\le1$, $0\le\theta\le2\pi$, $0\le\phi\le\pi$. Since $x^2+y^2+z^2=\rho^2$, the integrand becomes $e^{(\rho^2)^{3/2}}=e^{\rho^3}$, which separates completely into the three variables — a typical instance of a function with no elementary antiderivative in rectangular coordinates becoming manageable once written in spherical ones. By formula (3),

$$\begin{aligned}\iiint_B e^{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}\,dV&=\int_0^\pi\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 e^{\rho^3}\,\rho^2\sin\phi\ d\rho\,d\theta\,d\phi\\&=\left(\int_0^\pi\sin\phi\,d\phi\right)\left(\int_0^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_0^1\rho^2e^{\rho^3}\,d\rho\right).\end{aligned}$$

The first two factors are $\displaystyle\int_0^\pi\sin\phi\,d\phi=\bigl[-\cos\phi\bigr]_0^\pi=2$ and $\displaystyle\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi$. For the last factor, substitute $u=\rho^3$, $du=3\rho^2\,d\rho$:

$$\int_0^1\rho^2e^{\rho^3}\,d\rho=\frac13\int_0^1e^u\,du=\frac13\bigl(e-1\bigr).$$

Multiplying the three factors gives $2\cdot2\pi\cdot\dfrac13(e-1)=\dfrac{4\pi}3(e-1)$. Hence $\displaystyle\iiint_B e^{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,dV=\dfrac{4\pi}3(e-1)$.

EXAM 4 원뿔 위·구 안에 놓인 입체의 부피 Volume of a Solid above a Cone and inside a SphereExample 4 · p.1143
한국어

원뿔 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 의 위쪽이면서 구 $x^2+y^2+z^2=z$ 의 안쪽에 놓인 입체의 부피를 구면좌표를 이용하여 구하라.

풀이. 두 경계면을 먼저 구면좌표로 바꾼다. 구 $x^2+y^2+z^2=z$는 $\rho^2=\rho\cos\phi$이므로, $\rho\neq0$인 부분에서는 $\rho=\cos\phi$이다(이는 중심이 $(0,0,\tfrac12)$이고 반지름이 $\tfrac12$인 구이며 원점을 지난다). 원뿔 $z=\sqrt{x^2+y^2}$는 $0\le\phi\le\pi$에서 $\sqrt{x^2+y^2}=\rho\sin\phi$이므로 $\rho\cos\phi=\rho\sin\phi$가 되고, $\rho\neq0$인 부분에서 $\cos\phi=\sin\phi$, 곧 $\phi=\pi/4$이다. 원뿔의 위쪽이라는 조건 $z\ge\sqrt{x^2+y^2}$는 같은 계산으로 $\rho\cos\phi\ge\rho\sin\phi$, 즉 $\rho\gt0$에서 $\cos\phi\ge\sin\phi$가 되는데, $0\le\phi\le\pi$에서 이것은 정확히 $\phi\le\pi/4$를 뜻한다. 구의 안쪽이라는 조건 $x^2+y^2+z^2\le z$는 $\rho\le\cos\phi$로 바뀌고, $\theta$에는 아무 제약이 없다. 따라서 입체는

$$E=\{(\rho,\theta,\phi)\mid 0\le\theta\le2\pi,\ 0\le\phi\le\pi/4,\ 0\le\rho\le\cos\phi\}$$

이다. $f=1$로 두고 식 (3)을 적용하면

$$\begin{aligned}V(E)&=\int_0^{\pi/4}\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\cos\phi}\rho^2\sin\phi\ d\rho\,d\theta\,d\phi=\int_0^{\pi/4}\sin\phi\left(\int_0^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_0^{\cos\phi}\rho^2\,d\rho\right)d\phi\\&=\int_0^{\pi/4}\sin\phi\cdot2\pi\cdot\frac{\cos^3\phi}3\,d\phi=\frac{2\pi}3\int_0^{\pi/4}\sin\phi\cos^3\phi\,d\phi.\end{aligned}$$

안쪽 적분은 $u=\cos\phi$, $du=-\sin\phi\,d\phi$로 치환하면 $\displaystyle\int\sin\phi\cos^3\phi\,d\phi=-\frac{\cos^4\phi}4+C$이므로

$$\int_0^{\pi/4}\sin\phi\cos^3\phi\,d\phi=\left[-\frac{\cos^4\phi}4\right]_0^{\pi/4}=-\frac14\left(\frac{\sqrt2}2\right)^4+\frac14=-\frac1{16}+\frac4{16}=\frac3{16}.$$

이를 대입하면 $V(E)=\dfrac{2\pi}3\cdot\dfrac3{16}=\dfrac{2\pi}{16}=\dfrac\pi8$이다. 따라서 입체의 부피는 $\dfrac\pi8$이다.

English

Working in spherical coordinates, compute the volume of the solid trapped above the cone $z=\sqrt{x^2+y^2}$ and inside the sphere $x^2+y^2+z^2=z$.

Solution. Rewrite the two bounding surfaces in spherical coordinates first. The sphere $x^2+y^2+z^2=z$ becomes $\rho^2=\rho\cos\phi$, so away from $\rho=0$, $\rho=\cos\phi$ (this is the sphere of radius $\tfrac12$ centered at $(0,0,\tfrac12)$, passing through the origin). For the cone $z=\sqrt{x^2+y^2}$, note that $\sqrt{x^2+y^2}=\rho\sin\phi$ because $\sin\phi\ge0$ on $0\le\phi\le\pi$; the equation therefore reads $\rho\cos\phi=\rho\sin\phi$, so away from $\rho=0$, $\cos\phi=\sin\phi$, i.e. $\phi=\pi/4$. Lying above the cone, $z\ge\sqrt{x^2+y^2}$, becomes $\rho\cos\phi\ge\rho\sin\phi$ by the same computation, i.e. $\cos\phi\ge\sin\phi$ when $\rho\gt0$, and on $0\le\phi\le\pi$ that says exactly $\phi\le\pi/4$. Lying inside the sphere, $x^2+y^2+z^2\le z$, becomes $\rho\le\cos\phi$, and $\theta$ is unrestricted. So the solid is

$$E=\{(\rho,\theta,\phi)\mid 0\le\theta\le2\pi,\ 0\le\phi\le\pi/4,\ 0\le\rho\le\cos\phi\}.$$

Taking $f=1$ in formula (3),

$$\begin{aligned}V(E)&=\int_0^{\pi/4}\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\cos\phi}\rho^2\sin\phi\ d\rho\,d\theta\,d\phi=\int_0^{\pi/4}\sin\phi\left(\int_0^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_0^{\cos\phi}\rho^2\,d\rho\right)d\phi\\&=\int_0^{\pi/4}\sin\phi\cdot2\pi\cdot\frac{\cos^3\phi}3\,d\phi=\frac{2\pi}3\int_0^{\pi/4}\sin\phi\cos^3\phi\,d\phi.\end{aligned}$$

For the inner integral, substitute $u=\cos\phi$, $du=-\sin\phi\,d\phi$, so $\displaystyle\int\sin\phi\cos^3\phi\,d\phi=-\frac{\cos^4\phi}4+C$, and

$$\int_0^{\pi/4}\sin\phi\cos^3\phi\,d\phi=\left[-\frac{\cos^4\phi}4\right]_0^{\pi/4}=-\frac14\left(\frac{\sqrt2}2\right)^4+\frac14=-\frac1{16}+\frac4{16}=\frac3{16}.$$

Substituting back, $V(E)=\dfrac{2\pi}3\cdot\dfrac3{16}=\dfrac{2\pi}{16}=\dfrac\pi8$. Hence the volume of the solid is $\dfrac\pi8$.

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