개념 해석 · Concepts
넓이 문제가 정적분을 낳았듯, 부피 문제도 똑같은 방식의 구성을 거쳐 이중적분으로 이어진다. 그러므로 먼저 1변수의 이야기를 복습해 둘 만하다.
$f(x)$가 $a\le x\le b$에서 정의되어 있다고 하자. $[a,b]$를 폭이 같은 $n$개의 부분구간 $[x_{i-1},x_i]$($\Delta x=(b-a)/n$)로 나누고, 각 구간에서 표본점 $x_i^{*}$를 하나씩 고른다. 곱 $f(x_i^{*})\,\Delta x$를 모두 더하면 리만 합
을 얻는다. 부분구간의 개수를 한없이 늘리면 이 합은 $f$의 $a$부터 $b$까지의 정적분이 된다.
$f(x)\ge 0$이면 (1)의 각 항은 근사 직사각형 하나의 넓이이므로, 이 합은 곡선 $y=f(x)$ 아래 $a$부터 $b$까지의 넓이를 근사하며 — 그 극한인 적분은 바로 그 넓이와 같다.
The area problem led to the definite integral; the volume problem will lead, by the very same construction, to the double integral. So the one-variable story is worth recalling first.
Let $f(x)$ be defined for $a\le x\le b$. Cut $[a,b]$ into $n$ subintervals $[x_{i-1},x_i]$ of equal width $\Delta x=(b-a)/n$ and pick a sample point $x_i^{*}$ in each one. Adding the products $f(x_i^{*})\,\Delta x$ produces the Riemann sum
Letting the number of subintervals grow without bound turns the sum into the definite integral of $f$ from $a$ to $b$:
When $f(x)\ge 0$ each term of (1) is the area of an approximating rectangle, so the sum approximates — and the integral equals — the area under the curve $y=f(x)$ from $a$ to $b$.
이제 닫힌 직사각형
위에서 정의된 이변수함수 $f$를 생각하고, 먼저 $f(x,y)\ge 0$이라 하자. 그러면 그래프 $z=f(x,y)$는 $R$ 위에 놓인 곡면이고, 측정하려는 대상은 다음 입체이다.
즉 $R$과 그 곡면 사이에 놓인 영역이다.
$[a,b]$를 폭이 같은 $m$개의 부분구간 $[x_{i-1},x_i]$($\Delta x=(b-a)/m$)로, $[c,d]$를 폭이 같은 $n$개의 부분구간 $[y_{j-1},y_j]$($\Delta y=(d-c)/n$)로 나눈다. 이 분할점들을 지나 좌표축에 평행한 직선을 그으면 $R$은 부분직사각형
으로 잘리며, 각 부분직사각형의 넓이는 $\Delta A=\Delta x\,\Delta y$이다. 각 $R_{ij}$에서 표본점 $(x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})$를 고르면, $R_{ij}$ 위에 놓인 $S$의 조각은 밑면이 $R_{ij}$이고 높이가 $f(x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})$인 가는 기둥으로 근사되며, 그 부피는 곱 $f(x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})\,\Delta A$이다. $mn$개 기둥의 부피를 모두 더하면 $S$의 부피를 근사한다.
이 근사는 $m,n$이 커질수록 정밀해지며, 그 극한값을 $S$의 부피의 정의로 삼는다.
이 이중 극한은, $m,n$을 충분히 크게 잡으면 표본점을 어떻게 고르더라도 이중 합이 $V$에 원하는 만큼 가까워짐을 뜻한다. 이 정의는 §5.2의 부피 공식과 일치하며, 이런 모양의 극한은 부피 문제를 훨씬 넘어서 — 심지어 양이 아닌 함수에서도 — 나타나는데, 이 점이 다음 카드의 정의를 이끄는 동기이다.
Now let $f$ be a function of two variables defined on the closed rectangle
and suppose first that $f(x,y)\ge 0$, so that the graph $z=f(x,y)$ is a surface lying above $R$. The object to be measured is the solid
the region between $R$ and that surface.
Divide $[a,b]$ into $m$ subintervals $[x_{i-1},x_i]$ of equal width $\Delta x=(b-a)/m$ and $[c,d]$ into $n$ subintervals $[y_{j-1},y_j]$ of equal width $\Delta y=(d-c)/n$. Drawing the lines through these endpoints parallel to the axes cuts $R$ into the subrectangles
each of area $\Delta A=\Delta x\,\Delta y$. Choosing a sample point $(x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})$ in each $R_{ij}$, the slab of $S$ sitting over $R_{ij}$ is approximated by a thin column of base $R_{ij}$ and height $f(x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})$, whose volume is the product $f(x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})\,\Delta A$. Adding the volumes of all $mn$ columns approximates the volume of $S$:
The approximation improves as $m$ and $n$ grow, and the limiting value is taken as the definition of the volume of $S$:
The double limit means the double sum can be made as close to $V$ as desired, for every choice of sample points, by taking $m$ and $n$ large enough. This definition agrees with the volume formula of §5.2, and limits of this shape occur far beyond volume problems — even for functions that are not positive — which is what motivates the definition in the next card.
정의 5. $R$ 위에서 $f$의 이중적분은
이다. 단, 이 극한이 존재할 때에 한한다.
정의 5는 (2)의 1변수 적분에 정확히 대응하는 2변수 판이다 — (함숫값)$\times$(조각의 크기)의 곱을 더한 것의 극한이라는 점에서 같은 구조이다. 여기 나오는 합
을 이중 리만 합이라 하며, 이중적분의 값을 근사하는 데 쓰인다. $f$가 양수이면 이 이중 리만 합은 근사 기둥들의 부피를 모두 더한 것이므로, $f$의 그래프 아래 부피를 근사한다.
Definition 5. The double integral of $f$ over the rectangle $R$ is
provided that this limit exists.
Definition 5 is the exact two-dimensional counterpart of the single integral in (2): a limit of sums of (function value) $\times$ (size of the piece). The sum appearing in it,
is called a double Riemann sum; stopping at finite $m$ and $n$ is what yields an approximation to the value of the integral. When $f$ happens to be positive, this double Riemann sum is the total volume of the approximating columns, so it approximates the volume under the graph of $f$.
정의 5의 극한을 풀어 쓰면 다음과 같은 뜻이다: 임의의 $\varepsilon\gt 0$에 대해, $m,n\gt N$인 모든 정수와 $R_{ij}$ 안의 어떤 표본점 $(x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})$을 골라도
이 성립하는 정수 $N$이 존재한다. 이 극한이 존재하는 함수 $f$를 적분가능하다고 한다.
어떤 함수가 적분가능한지는 고급 미적분학에서 다룬다. 연속함수는 모두 적분가능하며, 적분가능성은 상당한 불연속성까지도 허용한다. 구체적으로, $f$가 $R$에서 유계이고 — 즉 모든 $(x,y)\in R$에 대해 $|f(x,y)|\le M$인 상수 $M$이 존재하고 — $R$에서 유한 개의 매끄러운 곡선을 제외하면 연속이면, $f$는 $R$에서 적분가능하다.
부분직사각형의 크기를 모두 같게 잡은 것은 편의상의 선택일 뿐이다. 크기가 다른 $R_{ij}$를 써도 무방하며, 다만 극한 과정에서 모든 변의 길이가 $0$에 가까워지기만 하면 된다.
Spelled out, the limit in Definition 5 says: for every $\varepsilon\gt 0$ there is an integer $N$ such that
for all integers $m,n\gt N$ and for every choice of sample points $(x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})$ in $R_{ij}$. A function $f$ for which this limit exists is called integrable.
Which functions qualify is settled in advanced calculus: every continuous function is integrable, and integrability survives a fair amount of discontinuity. Specifically, if $f$ is bounded on $R$ — there is a constant $M$ with $|f(x,y)|\le M$ for all $(x,y)$ in $R$ — and $f$ is continuous on $R$ except possibly on finitely many smooth curves, then $f$ is integrable over $R$.
Equal-sized subrectangles were used only for convenience. Subrectangles $R_{ij}$ of unequal size are allowed as well, provided all of their dimensions are made to approach $0$ in the limiting process.
표본점 $(x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})$는 $R_{ij}$ 안의 어떤 점이라도 상관없으므로, 공식이 가장 간단해지도록 고를 수 있다. $R_{ij}$의 오른쪽 위 꼭짓점 $(x_i,y_j)$를 표본점으로 택하면 (5)에서 별표가 사라져
을 얻는다. 이 선택은 예제 1에서 쓰이며, 다음 카드들에서 다룰 중점 선택도 또 다른 편리한 선택이다.
The sample point $(x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})$ may be any point of $R_{ij}$, so it can be chosen to make the formula as simple as possible. Taking it to be the upper right-hand corner $(x_i,y_j)$ of $R_{ij}$ removes the starred symbols from (5):
This is the choice used in Example 1; the midpoint choice of the next cards is another convenient one.
이중적분과 부피. $f(x,y)\ge0$이면, 직사각형 $R$ 위쪽·곡면 $z=f(x,y)$ 아래쪽에 놓인 입체의 부피 $V$는
이는 구성을 이끌어 낸 기하적 문제와 정의 5가 정한 해석적 대상을 잇는 다리이다. 피적분함수가 음이 아닐 때 이중적분은 곧 부피이며, 이런 모양의 부피는 모두 이중적분으로 나타낼 수 있다.
증명. $f(x,y)\ge0$이므로, 부분직사각형 $R_{ij}$에서 표본점 $(x_{ij}^*,y_{ij}^*)$을 고를 때마다 밑면 $R_{ij}$(넓이 $\Delta A$)와 높이 $f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)$을 가진 직육면체 기둥을 하나씩 세울 수 있고, 그 기둥의 부피는 정확히 $f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\,\Delta A$이다. 이 기둥은 곡면 $z=f(x,y)$ 아래·$R_{ij}$ 위에 놓인 입체 $S$의 조각을 근사하는 것이므로, $m\times n$개의 기둥을 모두 합한 이중 리만 합
은 $S$ 전체의 부피에 대한 근삿값이다. 분할을 $m,n\to\infty$로 잘게 하여 모든 $R_{ij}$의 변의 길이가 $0$에 가까워지면 기둥의 계단 모양이 곡면에 점점 더 밀착하므로, 이 근삿값의 극한을 $S$의 부피 $V$로 정의하는 것이 자연스럽다. 즉
그런데 우변은 표본점을 어떻게 고르든 같은 값에 수렴하는 극한이며, 이는 정의 5가 이중적분 $\iint_R f(x,y)\,dA$를 정의할 때 쓴 것과 글자 그대로 같은 극한이다. 따라서 $V=\iint_R f(x,y)\,dA$이다.
Volume as a double integral. Let $f(x,y)\ge 0$ on $R$, and let $V$ be the volume of the solid bounded below by the rectangle $R$ and above by the surface $z=f(x,y)$. Then
This is the bridge between the geometric problem that motivated the construction and the analytic object defined by Definition 5: for a nonnegative integrand the double integral is a volume, and every volume of this shape can be written as a double integral.
Proof. Since $f(x,y)\ge0$, choosing a sample point $(x_{ij}^*,y_{ij}^*)$ in each subrectangle $R_{ij}$ determines a rectangular box with base $R_{ij}$ (area $\Delta A$) and height $f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)$, whose volume is exactly $f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\,\Delta A$. That box approximates the slice of the solid $S$ lying under $z=f(x,y)$ and above $R_{ij}$, so adding the $m\times n$ boxes together gives the double Riemann sum
as an approximation to the total volume of $S$. Refining the partition so that $m,n\to\infty$ and every side of every $R_{ij}$ shrinks to $0$ makes the stack of boxes hug the surface ever more closely, so it is natural to define the volume $V$ of $S$ as the limit of these approximations:
But the right-hand side is a limit that converges to the same value regardless of how the sample points are chosen, and it is literally the same limit that Definition 5 uses to define the double integral $\iint_R f(x,y)\,dA$. Hence $V=\iint_R f(x,y)\,dA$.
1변수 정적분의 근사법 — 중점법칙, 사다리꼴법칙, 심프슨법칙 — 은 모두 이중적분에 대응하는 판이 있다. 여기서는 그중 중점법칙만 다룬다. $R_{ij}$의 표본점으로 그 중심을 택한 이중 리만 합을 취하는 것이다.
이중적분의 중점법칙.
단, $\bar x_i$는 $[x_{i-1},x_i]$의 중점이고 $\bar y_j$는 $[y_{j-1},y_j]$의 중점이다.
예제 3의 각 부분직사각형을 원래와 닮은꼴인 합동한 네 조각으로 계속 나누어 보면, 이 규칙이 그 적분의 참값 $-12$로 수렴함을 볼 수 있다.
| 부분직사각형의 개수 | 중점법칙 어림값 |
|---|---|
| 1 | $-11.5000$ |
| 4 | $-11.8750$ |
| 16 | $-11.9687$ |
| 64 | $-11.9922$ |
| 256 | $-11.9980$ |
| 1024 | $-11.9995$ |
역주. 표의 세 번째 값 $-11.9687$은 정확한 중점법칙 값 $-11.96875$를 소수 넷째 자리에서 버림한 것이다(반올림하면 $-11.9688$). 원문 표의 표기를 그대로 옮겼다.
The approximation methods for single integrals — the Midpoint Rule, the Trapezoidal Rule, Simpson's Rule — all have double-integral counterparts. Only the first is treated here: take the double Riemann sum whose sample point in $R_{ij}$ is the center of that subrectangle.
Midpoint Rule for Double Integrals.
where $\bar x_i$ is the midpoint of $[x_{i-1},x_i]$ and $\bar y_j$ is the midpoint of $[y_{j-1},y_j]$.
Repeatedly splitting each subrectangle of Example 3 into four congruent pieces of the same shape shows the rule converging to the exact value $-12$ of that integral.
| Number of subrectangles | Midpoint Rule approximation |
|---|---|
| 1 | $-11.5000$ |
| 4 | $-11.8750$ |
| 16 | $-11.9687$ |
| 64 | $-11.9922$ |
| 256 | $-11.9980$ |
| 1024 | $-11.9995$ |
Note. The third entry, $-11.9687$, is the exact Midpoint Rule value $-11.96875$ truncated at the fourth decimal place (rounding would give $-11.9688$); the table is reproduced as the text prints it.
정적분을 정의로부터 직접 계산하는 것도 이미 번거로우며, 이를 실용적으로 만들어 주는 것이 미적분학의 기본정리이다. 이중적분을 정의만으로 계산하는 것은 그보다 더 까다롭다. 해법은 이중적분을 두 개의 1변수 적분을 차례로 수행하는 것으로 바꿔 쓰는 데 있다.
$f$가 $R=[a,b]\times[c,d]$에서 적분가능하다 하자. 기호 $\int_c^d f(x,y)\,dy$는 $x$를 고정한 채 $f(x,y)$를 $y=c$부터 $y=d$까지 $y$에 대해 적분하는 것을 뜻하며, 이 과정을 $y$에 대한 편적분이라 한다 — 편미분에 대응하는 적분 연산이다. 그 값은 고정한 $x$에 따라 달라지므로 $x$의 함수를 정의한다.
이 $x$의 함수를 다시 $a$부터 $b$까지 적분하면
을 얻으며, 우변을 반복적분이라 한다. 괄호를 생략하면
로 쓰며, 이는 $y=c$부터 $y=d$까지 $x$를 고정한 채 $y$에 대해 먼저 적분한 뒤, 그 결과로 얻은 $x$의 함수를 $x=a$부터 $x=b$까지 적분하라는 뜻이다. 순서를 바꾼 것은
이며, 이번에는 $y$를 고정한 채 $x$를 먼저 적분한다. (8)과 (9) 모두 계산은 안쪽에서 바깥쪽으로 진행한다.
Evaluating a single integral straight from its definition is already awkward, and the Fundamental Theorem of Calculus is what makes it practical; for a double integral, working from first principles is worse still. The way out is to rewrite the double integral as two single integrals performed one after the other.
Let $f$ be integrable on $R=[a,b]\times[c,d]$. In the symbol $\int_c^d f(x,y)\,dy$ the variable $x$ is held fixed while $f(x,y)$ is integrated in the variable $y$ over $c\le y\le d$ — a process called partial integration with respect to $y$, the integral analogue of partial differentiation. Its value depends on the fixed $x$, so it defines a function of $x$:
Integrating that function of $x$ from $a$ to $b$ gives
and the right-hand side is called an iterated integral. Dropping the brackets, it is written
meaning: integrate with respect to $y$ first (holding $x$ fixed) from $y=c$ to $y=d$, then integrate the resulting function of $x$ from $x=a$ to $x=b$. The other order is
where $x$ is integrated first with $y$ held fixed. In both (8) and (9) the work goes from the inside out.
정리 10 (푸비니 정리). $f$가 직사각형 $R=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\ c\le y\le d\}$에서 연속이면
더 일반적으로, $f$가 $R$에서 유계이고 유한 개의 매끄러운 곡선 위에서만 불연속이며 두 반복적분이 모두 존재하면 같은 결론이 성립한다.
즉 직사각형 위의 이중적분은 두 반복적분 가운데 어느 쪽으로 계산해도 되고, 적분 순서는 답에 영향을 주지 않는다. 이는 혼합 편도함수에 관한 클레로 정리와 같은 정신의 명제이며, 예제 4에서 두 답이 일치하는 이유이기도 하다.
완전한 증명은 이 교재의 수준을 넘어서지만, $f\ge0$일 때는 그 이유가 눈에 보인다. 이때 이중적분은 $R$ 위쪽·곡면 $z=f(x,y)$ 아래쪽에 놓인 입체의 부피 $V$이고, §5.2는 이런 부피를 단면으로 잘라 $V=\int_a^b A(x)\,dx$로 계산한다. 단, $A(x)$는 $x$축에 수직이고 $x$를 지나는 평면이 잘라 낸 단면의 넓이이다. 그 단면은 $x$를 상수로 고정하고 $c\le y\le d$인 범위에서 곡선 $z=f(x,y)$ 아래에 놓이므로 $A(x)=\int_c^d f(x,y)\,dy$이고, 이를 대입하면 첫 번째 반복적분이 나온다. 대신 $y$축에 수직인 평면으로 자르면 두 번째 반복적분을 얻는다.
이 정리의 이름은 1907년에 훨씬 더 일반적인 판을 증명한 귀도 푸비니(1879–1943)에서 왔다. 연속함수에 대한 판은 그보다 거의 한 세기 앞서 오귀스탱루이 코시가 이미 알고 있었다.
Theorem 10 (Fubini's Theorem). If $f$ is continuous on the rectangle $R=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\ c\le y\le d\}$, then
More generally, the same conclusion holds if $f$ is bounded on $R$, is discontinuous only on finitely many smooth curves, and both iterated integrals exist.
So a double integral over a rectangle may be computed as either iterated integral, and the order of integration does not affect the answer — a statement in the same spirit as Clairaut's Theorem on mixed partial derivatives, and the reason the two answers in Example 4 agree.
A full proof is beyond the level of the text, but for $f\ge 0$ the reason is visible. The double integral is then the volume $V$ of the solid lying above $R$ and under $z=f(x,y)$, and §5.2 computes such a volume by slicing: $V=\int_a^b A(x)\,dx$, where $A(x)$ is the area of the cross-section cut by the plane through $x$ perpendicular to the $x$-axis. That cross-section lies under the curve $z=f(x,y)$ with $x$ held constant and $c\le y\le d$, so $A(x)=\int_c^d f(x,y)\,dy$, and substituting gives the first iterated integral. Slicing instead with planes perpendicular to the $y$-axis gives the second.
The theorem carries the name of Guido Fubini (1879–1943), who proved a far more general version in 1907; the version for continuous functions was already known to Augustin-Louis Cauchy nearly a century earlier.
이중적분의 값이 음수라고 해서 잘못된 것은 아니다. 부피로 해석하는 것은 피적분함수가 양수일 때만 정당화된다. 예제 5처럼 $f$가 $R$ 전체에서 음수이면, 적분값은 $R$ 아래·$f$의 그래프 위에 놓인 입체 부피의 음수이다.
$f$가 부호를 바꾸는 경우 이중적분은 두 부피의 차이가 된다.
여기서 $V_1$은 $R$ 위쪽·그래프 아래쪽의 부피이고 $V_2$는 $R$ 아래쪽·그래프 위쪽의 부피이다. 예제 6의 답 $0$은 바로 이 두 부피가 같다는 뜻이다.
실용적인 점이 하나 더 있다. 푸비니 정리 덕분에 두 적분 순서를 서로 바꿔 써도 되므로, 더 쉬운 쪽을 자유롭게 골라도 된다. 예제 6에서는 $x$에 대해 먼저 적분하면 안쪽 적분이 단순한 치환 하나로 끝나지만, $y$를 먼저 적분하면 부분적분을 두 번 해야 한다.
A negative value for a double integral is not an error. The interpretation as a volume was justified only for a positive integrand; when $f$ is negative throughout $R$, as in Example 5, the integral is the negative of the volume of the solid lying below $R$ and above the graph of $f$.
For an $f$ that takes both signs the double integral is a difference of volumes,
where $V_1$ is the volume above $R$ and below the graph and $V_2$ is the volume below $R$ and above the graph. The answer $0$ in Example 6 therefore says exactly that these two volumes are equal.
A second practical point: since Fubini's Theorem makes the two orders interchangeable, one is free to choose the easier one. In Example 6, integrating with respect to $x$ first turns the inner integral into a single substitution, whereas integrating with respect to $y$ first would require integration by parts twice.
식 (11) — 두 단일적분의 곱. $g$가 $[a,b]$에서, $h$가 $[c,d]$에서 연속이고 피적분함수가 $f(x,y)=g(x)h(y)$로 인수분해되며 $R=[a,b]\times[c,d]$이면
직사각형 위에서 피적분함수가 이렇게 분리되면, 이중적분은 두 개의 독립된 단일적분으로 무너져 그 값을 단순히 곱하기만 하면 된다. 예제 8이 그 경우이다.
증명. $g$가 $[a,b]$에서, $h$가 $[c,d]$에서 연속이므로 곱 $f(x,y)=g(x)h(y)$는 직사각형 $R=[a,b]\times[c,d]$에서 연속이고, 따라서 정리 10(푸비니 정리)의 가정을 만족한다. $y$를 먼저 적분하는 순서로 푸비니 정리를 적용하면
이다. 안쪽 적분에서는 적분변수가 $y$이고 $x$가 고정되어 있으므로, $x$만의 식인 $g(x)$는 이 적분에 대해 상수로 취급되어 적분 기호 밖으로 나올 수 있다.
우변의 $\displaystyle\int_c^d h(y)\,dy$는 $x$가 전혀 등장하지 않는 하나의 실수이므로 $k$로 놓으면, 바깥 적분은
이 되어, 곱의 순서만 바꾸면 식 (11)과 같은 식을 얻는다. 연속성은 푸비니 정리를 쓰기 위한 충분조건일 뿐이며, $f=gh$가 정리 10의 더 일반적인 가정(유계이고 유한 개의 매끄러운 곡선 위에서만 불연속이며 두 반복적분이 존재)을 만족하기만 해도 같은 논증이 그대로 통한다.
Equation (11) — Product of two single integrals. If $g$ is continuous on $[a,b]$, $h$ is continuous on $[c,d]$, the integrand factors as $f(x,y)=g(x)h(y)$, and $R=[a,b]\times[c,d]$, then
For a separable integrand on a rectangle the double integral thus collapses into two independent single integrals whose values are simply multiplied, as in Example 8.
Proof. Since $g$ is continuous on $[a,b]$ and $h$ is continuous on $[c,d]$, the product $f(x,y)=g(x)h(y)$ is continuous on the rectangle $R=[a,b]\times[c,d]$ and so meets the hypotheses of Theorem 10 (Fubini's Theorem). Applying it in the order that integrates $y$ first,
In the inner integral the variable of integration is $y$ and $x$ is held fixed, so $g(x)$, which involves only $x$, is a constant for that integral and can be pulled outside it:
The number $\displaystyle\int_c^d h(y)\,dy$ on the right no longer involves $x$ at all, so writing it as $k$, the outer integral becomes
which, after reordering the product, is exactly equation (11). Continuity is only a convenient sufficient condition here: the same argument goes through whenever $f=gh$ satisfies the more general hypotheses of Theorem 10 (bounded, discontinuous only on finitely many smooth curves, with both iterated integrals existing).
1변수에서는 §5.5가 $[a,b]$ 위 $f$의 평균값을 $f_{\text{avg}}=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ — 적분을 정의역의 크기로 나눈 값 — 로 정의한다. 2변수 정의는 이를 그대로 본뜬 것으로, 구간의 길이 대신 직사각형의 넓이를 쓴다.
평균값. 직사각형 $R$ 위에서 정의된 이변수함수 $f$의 평균값은
이다. 단, $A(R)$은 $R$의 넓이를 나타낸다.
$f(x,y)\ge 0$일 때, 정의를
로 다시 쓰면, 밑면이 $R$이고 높이가 $f_{\text{avg}}$인 상자가 곡면 아래 입체와 정확히 같은 부피를 가진다는 뜻이 된다. 지형으로 비유하면: $z=f(x,y)$가 산이 있는 지형을 나타낸다면, 높이 $f_{\text{avg}}$에서 봉우리를 깎아 골짜기를 메우면 지형이 딱 맞게 평평해진다.
For one variable, §5.5 defines the average value of $f$ on $[a,b]$ as $f_{\text{avg}}=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$: the integral divided by the size of the domain. The two-variable definition copies it, with the area of the rectangle in place of the length of the interval.
Average value. For a two-variable function $f$ defined on a rectangle $R$, the average value of $f$ is
where $A(R)$ denotes the area of $R$.
When $f(x,y)\ge 0$, rewriting the definition as
says that the box with base $R$ and height $f_{\text{avg}}$ has exactly the same volume as the solid under the graph of $f$. Read as landscape: if $z=f(x,y)$ describes mountainous terrain, slicing the peaks off at the height $f_{\text{avg}}$ yields just enough material to fill the valleys and leave the region flat.
예제 답안 · Worked Examples
정사각형 $R=[0,2]\times[0,2]$ 위쪽, 타원포물면 $z=16-x^2-2y^2$ 아래쪽에 놓인 입체의 부피를 어림하라. 단, $R$을 합동인 네 개의 정사각형으로 나누고 각 정사각형 $R_{ij}$의 오른쪽 위 꼭짓점을 표본점으로 삼는다. 이 입체와 근사에 쓰인 기둥들의 모양도 함께 서술하라.
풀이. $R$을 한 변의 길이가 $1$인 네 정사각형 $R_{ij}$로 나누면 각 $\Delta A=1$이고, 오른쪽 위 꼭짓점은 각각 $(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$이다. $f(x,y)=16-x^2-2y^2$의 값을 이 네 점에서 계산하면 다음과 같다.
| 표본점 | $(1,1)$ | $(1,2)$ | $(2,1)$ | $(2,2)$ |
|---|---|---|---|---|
| $f$의 값 | $13$ | $7$ | $10$ | $4$ |
이중 리만 합은 $\Delta A=1$이므로 네 값을 단순히 더한 것과 같다.
입체 자체는 $R$을 밑면으로 하고 곡면 $z=16-x^2-2y^2$을 지붕으로 삼는 모양이다. 이 곡면은 원점 쪽 모서리 근처($x,y$가 작을 때)에서 가장 높고 — 최댓값은 원점에서 $16$ — $x,y$가 커질수록 낮아져 $(2,2)$에서 최솟값 $f(2,2)=4$를 갖는, 한쪽으로 기울며 가라앉는 지붕이다. 근사에 쓰인 네 상자는 각각 밑면이 $1\times1$ 정사각형이고 높이가 그 정사각형의 오른쪽 위 꼭짓점에서의 $f$ 값인 직육면체이다. $f$가 $R$ 전체에서 $x,y$ 각각에 대해 감소함수이므로, 오른쪽 위 꼭짓점은 그 정사각형 위에서 $f$가 가장 작은 점이고, 따라서 네 상자는 모두 지붕 아래에 완전히 들어가며 참값보다 작은 어림값을 준다. 따라서 $V\approx34$이다.
Approximate the volume trapped between the square $R=[0,2]\times[0,2]$ and the elliptic paraboloid $z=16-x^2-2y^2$ above it, cutting $R$ into four congruent subsquares and using the upper right corner of each $R_{ij}$ as sample point. Describe the solid and the approximating rectangular boxes.
Solution. Splitting $R$ into four unit squares $R_{ij}$ gives $\Delta A=1$ in each, with upper right corners $(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$. Evaluating $f(x,y)=16-x^2-2y^2$ at these four points gives the following.
| Sample point | $(1,1)$ | $(1,2)$ | $(2,1)$ | $(2,2)$ |
|---|---|---|---|---|
| Value of $f$ | $13$ | $7$ | $10$ | $4$ |
Since $\Delta A=1$, the double Riemann sum is just the sum of these four values.
The solid itself has base $R$ and roof the surface $z=16-x^2-2y^2$: a roof that is highest near the corner at the origin (peaking at $16$ there) and slopes downward as $x$ and $y$ grow, reaching its lowest point $f(2,2)=4$ over $(2,2)$. Each of the four approximating boxes is a rectangular box with a $1\times1$ square base and height equal to the value of $f$ at that square's upper right corner. Because $f$ decreases in both $x$ and $y$ throughout $R$, the upper right corner is where $f$ is smallest on each square, so all four boxes sit entirely under the roof and the estimate is too low. Hence $V\approx34$.
$R=\{(x,y)\mid -1\le x\le 1,\ -2\le y\le 2\}$라 하자. 정의 5에서 직접 계산하는 대신 적분을 부피로 해석하여 $\displaystyle\iint_R\sqrt{1-x^2}\,dA$의 값을 구하라.
풀이. $f(x,y)=\sqrt{1-x^2}\ge0$이고 $x$에만 의존하며 $y$에는 무관하므로, 카드 6에 의해 이 이중적분은 $R$ 위쪽·곡면 $z=\sqrt{1-x^2}$ 아래쪽 입체의 부피와 같다. 방정식 $z=\sqrt{1-x^2}$은 $x^2+z^2=1,\ z\ge0$과 같은 뜻이므로, $y$를 어느 값에 고정하고 $xz$-평면에 평행한 평면으로 잘라도 언제나 반지름 $1$인 같은 반원이 나온다 — 즉 이 곡면은 $y$축 방향으로 뻗은 반원기둥이다.
따라서 구하는 입체는 반지름 $1$, 길이 $4$($-2\le y\le2$)인 반원기둥이고, 그 부피는 반원의 넓이에 길이를 곱한 것과 같다.
따라서 $\displaystyle\iint_R\sqrt{1-x^2}\,dA=2\pi$이다.
Let $R=\{(x,y)\mid -1\le x\le 1,\ -2\le y\le 2\}$. Evaluate $\displaystyle\iint_R\sqrt{1-x^2}\,dA$ by interpreting the integral as a volume, rather than by working from Definition 5.
Solution. Since $f(x,y)=\sqrt{1-x^2}\ge0$ depends on $x$ alone and not on $y$, Card 6 identifies the double integral with the volume of the solid lying above $R$ and below $z=\sqrt{1-x^2}$. The equation $z=\sqrt{1-x^2}$ is the same as $x^2+z^2=1,\ z\ge0$, so slicing at any fixed $y$ by a plane parallel to the $xz$-plane always produces the same semicircle of radius $1$ — the surface is a half-cylinder running in the $y$-direction.
The solid in question is therefore a half-cylinder of radius $1$ and length $4$ (from $y=-2$ to $y=2$), and its volume is the area of the semicircular cross-section times the length.
Hence $\displaystyle\iint_R\sqrt{1-x^2}\,dA=2\pi$.
$R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\ 1\le y\le 2\}$ 위에서 $m=n=2$인 중점법칙을 써서 $\displaystyle\iint_R (x-3y^2)\,dA$의 값을 어림하라.
풀이. $m=n=2$이므로 $[0,2]$를 $[0,1],[1,2]$로, $[1,2]$를 $[1,1.5],[1.5,2]$로 나눈다. 각 구간의 중점은 $\bar x_1=\tfrac12,\ \bar x_2=\tfrac32$와 $\bar y_1=\tfrac54,\ \bar y_2=\tfrac74$이고, $\Delta A=1\cdot\tfrac12=\tfrac12$이다. $f(x,y)=x-3y^2$을 네 중점 쌍에서 계산하면 다음과 같다.
| $(\bar x_i,\bar y_j)$ | $(\tfrac12,\tfrac54)$ | $(\tfrac12,\tfrac74)$ | $(\tfrac32,\tfrac54)$ | $(\tfrac32,\tfrac74)$ |
|---|---|---|---|---|
| $f$의 값 | $-\tfrac{67}{16}$ | $-\tfrac{139}{16}$ | $-\tfrac{51}{16}$ | $-\tfrac{123}{16}$ |
네 값의 합은 $-\tfrac{67+139+51+123}{16}=-\tfrac{380}{16}=-\tfrac{95}{4}$이므로,
따라서 $\displaystyle\iint_R(x-3y^2)\,dA\approx-\frac{95}{8}=-11.875$이다.
Estimate $\displaystyle\iint_R (x-3y^2)\,dA$ over $R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\ 1\le y\le 2\}$ by applying the Midpoint Rule with $m=n=2$.
Solution. With $m=n=2$, split $[0,2]$ into $[0,1],[1,2]$ and $[1,2]$ into $[1,1.5],[1.5,2]$. The midpoints of these subintervals are $\bar x_1=\tfrac12,\ \bar x_2=\tfrac32$ and $\bar y_1=\tfrac54,\ \bar y_2=\tfrac74$, and $\Delta A=1\cdot\tfrac12=\tfrac12$. Evaluating $f(x,y)=x-3y^2$ at the four midpoint pairs gives the following.
| $(\bar x_i,\bar y_j)$ | $(\tfrac12,\tfrac54)$ | $(\tfrac12,\tfrac74)$ | $(\tfrac32,\tfrac54)$ | $(\tfrac32,\tfrac74)$ |
|---|---|---|---|---|
| Value of $f$ | $-\tfrac{67}{16}$ | $-\tfrac{139}{16}$ | $-\tfrac{51}{16}$ | $-\tfrac{123}{16}$ |
The sum of these four values is $-\tfrac{67+139+51+123}{16}=-\tfrac{380}{16}=-\tfrac{95}{4}$, so
Hence $\displaystyle\iint_R(x-3y^2)\,dA\approx-\frac{95}{8}=-11.875$.
$0\le x\le 3$, $1\le y\le 2$에서 $x^2y$의 반복적분을 두 적분 순서로 각각 계산하라.
(a) $\displaystyle\int_0^3\!\!\int_1^2 x^2y\,dy\,dx$
(b) $\displaystyle\int_1^2\!\!\int_0^3 x^2y\,dx\,dy$
(a) 안쪽 적분에서는 $x$를 상수로 두고 $y$에 대해 적분한다.
이 결과를 다시 $x$에 대해 적분하면
(b) 이번에는 안쪽 적분에서 $y$를 상수로 두고 $x$에 대해 적분한다.
이를 $y$에 대해 적분하면
두 순서 모두 같은 값 $\dfrac{27}{2}$을 주며, 이는 앞서 살펴본 푸비니 정리(정리 10)가 보장하는 바와 정확히 들어맞는다. 따라서 (a) $\dfrac{27}{2}$, (b) $\dfrac{27}{2}$이다.
Evaluate the iterated integrals of $x^2y$ over $0\le x\le 3$, $1\le y\le 2$, once in each order.
(a) $\displaystyle\int_0^3\!\!\int_1^2 x^2y\,dy\,dx$
(b) $\displaystyle\int_1^2\!\!\int_0^3 x^2y\,dx\,dy$
(a) In the inner integral, hold $x$ fixed and integrate with respect to $y$.
Integrating this result with respect to $x$ gives
(b) This time the inner integral holds $y$ fixed and integrates with respect to $x$.
Integrating this with respect to $y$ gives
Both orders produce the same value $\dfrac{27}{2}$, exactly as Fubini's Theorem (Theorem 10), seen earlier, guarantees. Hence (a) $\dfrac{27}{2}$, (b) $\dfrac{27}{2}$.
$R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\ 1\le y\le 2\}$에서 이중적분 $\displaystyle\iint_R (x-3y^2)\,dA$의 정확한 값을 푸비니 정리를 이용해 두 적분 순서로 각각 구하라. (예제 3의 근삿값과 비교하라.)
풀이. $f(x,y)=x-3y^2$은 $R$에서 연속이므로 정리 10(푸비니 정리)에 의해 두 반복적분 모두 이중적분과 같은 값을 준다.
먼저 $y$에 대해 먼저 적분하면, $x$를 상수로 두고
이고, 이어서
순서를 바꾸어 $x$에 대해 먼저 적분하면, $y$를 상수로 두고
이고, 이어서
두 순서가 모두 $-12$를 주며, 이는 예제 3의 중점법칙 어림값 $-11.875$에 매우 가깝다. 따라서 $\displaystyle\iint_R(x-3y^2)\,dA=-12$이다.
Evaluate the double integral $\displaystyle\iint_R (x-3y^2)\,dA$ exactly, where $R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\ 1\le y\le 2\}$, applying Fubini's Theorem in each of the two orders of integration. (Compare with the estimate of Example 3.)
Solution. Since $f(x,y)=x-3y^2$ is continuous on $R$, Theorem 10 (Fubini's Theorem) guarantees that both iterated integrals equal the double integral.
Integrating with respect to $y$ first, with $x$ held fixed,
and then
Reversing the order, integrating with respect to $x$ first with $y$ held fixed,
and then
Both orders give $-12$, very close to the Midpoint Rule estimate $-11.875$ of Example 3. Hence $\displaystyle\iint_R(x-3y^2)\,dA=-12$.
$R=[1,2]\times[0,\pi]$에서 $\displaystyle\iint_R y\sin(xy)\,dA$를 계산하라. 두 적분 순서 가운데 계산이 더 간단한 쪽을 골라 쓰고, 다른 순서를 택했을 때 무엇이 달라지는지도 밝혀라.
풀이. $y$를 고정한 채 $x$에 대해 적분하는 순서를 택한다. 이때 피적분함수 $y\sin(xy)$에서 계수 $y$가 마침 $\sin(xy)$를 $x$로 미분할 때 나오는 연쇄법칙 인수와 같으므로, $\int y\sin(xy)\,dx=-\cos(xy)+C$로 즉시 역도함수를 얻는다. 따라서
이고, 이를 $y$에 대해 $0$부터 $\pi$까지 적분하면
만약 대신 $y$에 대해 먼저 적분하는 순서를 택하면 $\int y\sin(xy)\,dy$는 두 함수 $y$와 $\sin(xy)$의 곱이라 부분적분을 (그것도 $x$를 매개변수로 둔 채) 수행해야 하므로 훨씬 번거로워진다 — $x$에 대해 먼저 적분하는 쪽이 카드 10이 말한 대로 명백히 더 쉬운 선택이다. 답이 $0$이라는 것은 $R$ 위쪽·그래프 아래쪽 부피와 $R$ 아래쪽·그래프 위쪽 부피가 같다는 뜻이다. 따라서 $\displaystyle\iint_R y\sin(xy)\,dA=0$이다.
Evaluate $\displaystyle\iint_R y\sin(xy)\,dA$, where $R=[1,2]\times[0,\pi]$. Use whichever of the two orders of integration gives the simpler computation, and say what happens if the other order is used instead.
Solution. Integrate with respect to $x$ first, holding $y$ fixed. In the integrand $y\sin(xy)$ the factor $y$ is exactly the chain-rule factor produced by differentiating $\sin(xy)$ with respect to $x$, so an antiderivative is immediate: $\int y\sin(xy)\,dx=-\cos(xy)+C$. Hence
and integrating this with respect to $y$ from $0$ to $\pi$ gives
Choosing the other order instead, integrating with respect to $y$ first, would make $\int y\sin(xy)\,dy$ a product of $y$ and $\sin(xy)$ and require integration by parts (with $x$ carried along as a parameter throughout) — a much more laborious route, so integrating with respect to $x$ first is clearly the easier choice, as Card 10 anticipated. The answer $0$ means precisely that the volume above $R$ and below the graph equals the volume below $R$ and above the graph. Hence $\displaystyle\iint_R y\sin(xy)\,dA=0$.
타원포물면 $x^2+2y^2+z=16$, 두 평면 $x=2$와 $y=2$, 그리고 세 좌표평면으로 둘러싸인 입체 $S$의 부피를 구하라.
풀이. 타원포물면의 방정식을 $z=16-x^2-2y^2$로 고쳐 쓴다. 세 좌표평면 $x=0,y=0,z=0$이 경계에 포함되고 여기에 $x=2$, $y=2$가 더해지므로, 입체 $S$는 정사각형 $R=[0,2]\times[0,2]$ 위쪽·이 곡면 아래쪽에 놓인다(정사각형 위에서 $16-x^2-2y^2\ge16-4-8=4>0$이므로 곡면 전체가 $R$ 위에서 $z=0$보다 위에 있어 좌표평면 $z=0$이 자연스러운 바닥이 된다). 카드 6에 의해 이 입체의 부피는
$x$에 대해 먼저 적분하면, $y$를 상수로 두고
이고, 이어서 $y$에 대해 적분하면
이는 예제 1에서 네 개의 부분정사각형만으로 얻은 어림값 $34$보다 크며, 표본점이 정사각형마다 $f$가 가장 작은 오른쪽 위 꼭짓점이어서 그 어림값이 참값을 밑돌았다는 설명과 부합한다. 따라서 $V=48$이다.
Find the volume of the solid $S$ enclosed by the three coordinate planes, the planes $x=2$ and $y=2$, and the elliptic paraboloid $x^2+2y^2+z=16$.
Solution. Rewrite the paraboloid as $z=16-x^2-2y^2$. The three coordinate planes $x=0,y=0,z=0$ are among the boundaries, together with $x=2$ and $y=2$, so $S$ lies above the square $R=[0,2]\times[0,2]$ and below this surface (on $R$, $16-x^2-2y^2\ge16-4-8=4>0$, so the surface stays above $z=0$ throughout $R$ and $z=0$ is the natural floor). By Card 6 the volume of this solid is
Integrating with respect to $x$ first, with $y$ held fixed,
and then integrating with respect to $y$,
This exceeds the estimate $34$ obtained in Example 1 from only four subsquares, consistent with the fact that the sample points there — the upper right corners, where $f$ is smallest on each square — made that estimate too low. Hence $V=48$.
$R=[0,\pi/2]\times[0,\pi/2]$에서 식 (11)을 이용하여 $\displaystyle\iint_R \sin x\cos y\,dA$를 계산하라.
풀이. 피적분함수는 $\sin x\cos y=g(x)h(y)$로 분리되며, $g(x)=\sin x$, $h(y)=\cos y$이고 $R=[0,\pi/2]\times[0,\pi/2]$는 정확히 두 인수의 정의구간의 곱이다. 따라서 식 (11)을 적용할 수 있다.
식 (11)에 의해
피적분함수가 $R$ 전체에서 양수이므로 이 값은 $R$ 위쪽·곡면 $z=\sin x\cos y$ 아래쪽 입체의 부피로도 해석된다. 따라서 $\displaystyle\iint_R \sin x\cos y\,dA=1$이다.
Evaluate $\displaystyle\iint_R \sin x\cos y\,dA$ over $R=[0,\pi/2]\times[0,\pi/2]$ by means of Equation (11).
Solution. The integrand separates as $\sin x\cos y=g(x)h(y)$ with $g(x)=\sin x$ and $h(y)=\cos y$, and $R=[0,\pi/2]\times[0,\pi/2]$ is exactly the product of the two factors' domains, so Equation (11) applies.
By Equation (11),
Since the integrand is positive throughout $R$, this value is also the volume of the solid lying above $R$ and below $z=\sin x\cos y$. Hence $\displaystyle\iint_R \sin x\cos y\,dA=1$.
2006년 12월 20–21일 콜로라도주에 내린 적설량(단위: 인치)이 등고선 지도로 주어져 있다. 이 주를 동서로 388마일, 남북으로 276마일인 직사각형 $R$로 보고, $m=n=4$인 중점법칙을 이용하여 이 기간 주 전체의 평균 적설량 $f_{\text{avg}}$를 추정하라.
단, 원점을 주의 남서쪽 모서리에 두어 $0\le x\le 388$, $0\le y\le 276$이라 하고, $f(x,y)$를 원점에서 동쪽으로 $x$마일, 북쪽으로 $y$마일 떨어진 지점의 적설량이라 하자. $R$을 크기가 같은 16개의 부분직사각형으로 나눌 때 각 부분직사각형의 중점에서 등고선 지도로부터 읽은 적설량은 다음과 같다.
풀이. $m=n=4$이므로 $R$은 $16$개의 합동인 부분직사각형으로 나뉘고, 각각의 크기는
이다. 중점법칙에 의해 각 부분직사각형의 중점에서 읽은 값을 모두 더하고 $\Delta A$를 곱하면 이중적분의 어림값을 얻는다. 16개 값의 합은
이므로,
주 전체의 넓이는 $A(R)=388\times276=107{,}088=16\times6693$이다. 카드 12의 평균값 정의에 따라 평균 적설량은
즉 넓이 $A(R)=mn\,\Delta A$이므로 인수 $\Delta A$가 분자·분모에서 그대로 소거되어, 결국 평균 적설량은 16개 표본값의 산술평균과 같아진다. 따라서 $f_{\text{avg}}\approx12.9$인치이다.
A contour map gives the depth of snow, in inches, deposited over Colorado on 20–21 December 2006. Treat the state as a rectangle $R$ that is 388 mi across from west to east and 276 mi from south to north, and estimate the statewide average snowfall $f_{\text{avg}}$ for those two days by the Midpoint Rule with $m=n=4$.
Place the origin at the southwest corner, so that $0\le x\le 388$ and $0\le y\le 276$, and let $f(x,y)$ be the snowfall at the location $x$ miles east and $y$ miles north of the origin. Dividing $R$ into 16 subrectangles of equal size, the values read off the contour map at their centers are
Solution. With $m=n=4$, $R$ splits into $16$ congruent subrectangles, each of size
The Midpoint Rule approximates the double integral by adding the values read at the centers of the subrectangles and multiplying by $\Delta A$. The sum of the sixteen values is
so
The area of the whole state is $A(R)=388\times276=107{,}088=16\times6693$. By the average-value definition of Card 12, the average snowfall is
Since $A(R)=mn\,\Delta A$, the factor $\Delta A$ cancels between numerator and denominator, so the average snowfall reduces to the plain arithmetic mean of the sixteen sample values. Hence $f_{\text{avg}}\approx12.9$ inches.
연결 · Links
(a) 강의 노트 대응 — 미적분학 2 단원 09 이중적분
- 반복적분과 직사각형 위 이중적분 (식 (7)–(9), 정리 10) — ex01, yu01-1, yu01-2 (부분 대응: 계산은 같지만 교안은 푸비니 정리를 ex01 풀이에서 이름으로만 언급하고 진술·조건을 두지 않음)
- 대칭성을 이용한 이중적분 — yu01-3 (본문 카드가 아니라 교재 연습 55–56에 대응)
- 평균값 $f_{\text{avg}}$ (카드 12) — ex04, yu04-2 (완전 대응, 단 교안 기호는 $\operatorname{Avg}(f)$)
- 직사각형 위 적분의 응용 — yu04-1 (부분 대응: 분포함수를 직사각형 위에서 적분해 총 개수를 구하는 문제)
- 반복적분과 이계 편도함수 — pr01 (교재 연습 58(b) $g_{xy}=g_{yx}=f(x,y)$에 대응)
- 최댓값 지수함수의 반복적분 — pr02 (교재에 대응 문항 없음 — 교안 고유의 심화 문제)
- 이중 리만 합과 이중적분의 정의(카드 3), 중점법칙(카드 7), 푸비니 정리의 정식 진술(카드 9), 분리형 곱 공식(카드 11) — 대응 없음
(b) 공통과제 (§15.1 · 2차 공통과제)
제출 문항: 없음 (과제표에 §15.1 제출 문항이 지정되지 않음) / 학습 참고: 20, 21, 22, 24, 25, 29, 30, 32, 33, 45, 46, 47, 49, 53, 55
(c) 이웃 절 — 이전: §14.8 라그랑주 승수법 / 다음: §15.2 일반 영역 위의 이중적분
(a) Corresponding lecture notes — Calculus II, Unit 09 (Double Integrals)
- Iterated integrals and double integrals over a rectangle (Eq. (7)–(9), Theorem 10) — ex01, yu01-1, yu01-2 (partial: the computations agree, but the lecture notes only name Fubini's Theorem inside the solution of ex01, with no statement and no hypotheses)
- Double integrals evaluated by symmetry — yu01-3 (matches Exercises 55–56 of the text rather than any card here)
- Average value $f_{\text{avg}}$ (Card 12) — ex04, yu04-2 (full match, except that the lecture notes write the symbol as $\operatorname{Avg}(f)$)
- An application of integration over a rectangle — yu04-1 (partial: a distribution function is integrated over a rectangle to give a total count)
- Iterated integrals and second partial derivatives — pr01 (matches Exercise 58(b) of the text, $g_{xy}=g_{yx}=f(x,y)$)
- An iterated integral of an exponential with a maximum in the exponent — pr02 (no counterpart in the text; a problem proper to the lecture notes)
- The double Riemann sum and Definition 5 (Card 3), the Midpoint Rule (Card 7), the formal statement of Fubini's Theorem (Card 9), and the product formula (Card 11) — no match
(b) Assignment (§15.1, second common assignment)
Problems to submit: none (the assignment table lists no §15.1 problems for submission) / Recommended practice: 20, 21, 22, 24, 25, 29, 30, 32, 33, 45, 46, 47, 49, 53, 55
(c) Neighboring sections — Previous: §14.8 Lagrange Multipliers / Next: §15.2 Double Integrals over General Regions